حل معادلة الاستثمار المتساوي لتحديد قيمة x (مسألة رياضيات)

تستثمر جون مبلغًا ماليًا مقداره “x” بسعر فائدة نصف سنوي ثابت بنسبة 2 في المئة، وأيضًا مبلغ 20,000 دولار بسعر فائدة ربع سنوي ثابت بنسبة 4 في المئة. إذا كانت الفوائد متساوية بعد مرور عام واحد، ما هو قيمة “x”؟

الحل:
لنقم بحساب الفائدة لكل استثمار بشكل منفصل ونتأكد من أن الفوائد متساوية بعد مرور عام.

للاستثمار الأول (x بسعر 2 في المئة نصف سنويًا):
$A_1 = x \left(1 + \frac{r_1}{n_1}\right)^{n_1 \times t_1}$
$A_1 = x \left(1 + \frac{0.02}{2}\right)^{2 \times 1}$

للاستثمار الثاني (20,000 دولار بسعر 4 في المئة ربع سنويًا):
$A_2 = 20,000 \left(1 + \frac{r_2}{n_2}\right)^{n_2 \times t_2}$
$A_2 = 20,000 \left(1 + \frac{0.04}{4}\right)^{4 \times 1}$

حيث:

• $r_1$ و $r_2$ هي أسعار الفائدة السنوية للأستثمار الأول والثاني على التوالي.
• $n_1$ و $n_2$ هي عدد المرات التي يتم فيها حساب الفائدة في السنة للأستثمار الأول والثاني.
• $t_1$ و $t_2$ هي فترة الاستثمار بالسنوات للأستثمار الأول والثاني.

إذا كانت الفوائد متساوية، فإن:
$A_1 = A_2$

$x \left(1 + \frac{0.02}{2}\right)^{2 \times 1} = 20,000 \left(1 + \frac{0.04}{4}\right)^{4 \times 1}$

يمكننا حل هذه المعادلة للعثور على قيمة “x”.

لنحسب القيمة المجهولة “x” في المعادلة التي تعبر عن تساوي الفوائد لكلا الاستثمارين. في البداية، سنقوم بكتابة المعادلة الكاملة:

$x \left(1 + \frac{0.02}{2}\right)^{2 \times 1} = 20,000 \left(1 + \frac{0.04}{4}\right)^{4 \times 1}$

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون الفائدة المركبة:
   $A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$
   حيث:

   • $A$ هو المبلغ النهائي بعد فترة الاستثمار.
   • $P$ هو المبلغ الأصلي المستثمر.
   • $r$ هو معدل الفائدة السنوي.
   • $n$ هو عدد المرات التي يتم فيها حساب الفائدة في السنة.
   • $t$ هو فترة الاستثمار بالسنوات.

2. مبدأ تساوي الفوائد:
   إذا كانت الفوائد متساوية للاستثمارين، فإنهما سيصلان إلى نفس المبلغ بعد نفس الفترة.

الآن، سنقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة “x”. يمكننا البدء بتبسيط الجهة اليسرى من المعادلة:

$x \left(1 + \frac{0.02}{2}\right)^{2 \times 1} = x \left(1.01\right)^{2}$

ثم، نقوم بتبسيط الجهة اليمنى:

$20,000 \left(1 + \frac{0.04}{4}\right)^{4 \times 1} = 20,000 \left(1.01\right)^{4}$

الآن، يمكننا القول إن:

$x \left(1.01\right)^{2} = 20,000 \left(1.01\right)^{4}$

ثم نقوم بقسم كلا الجانبين على $\left(1.01\right)^{2}$ للعثور على قيمة “x”:

$x = \frac{20,000 \left(1.01\right)^{4}}{\left(1.01\right)^{2}}$

يمكن تبسيط هذه العملية الحسابية للحصول على قيمة الـ “x”.