حل معادلة أسية بتفصيل دقيق (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تتعلق بحساب عدد الأزواج المرتبة (x، y) من الأعداد الحقيقية التي تحقق المعادلة:

$16^{x^2 + y} + 16^{x + y^2} = 1$

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل المعادلة بعناية. أولاً وقبل كل شيء، نراجع النظرية الأسية للأعداد ونستشف منها بعض الخصائص. نعلم أن أي عدد حقيقي مرفوع إلى أس زوجي يكون إيجابياً، بينما إذا كان الأس فردياً يمكن أن يكون إيجابيًا أو سالبًا حسب قيمة العدد الأساسي.

لنقم بتفكيك المعادلة إلى أجزاء أصغر لفهمها بشكل أفضل، نستخدم قاعدة الأس التي تقول:

$a^{m+n} = a^m \cdot a^n$

نطبق هذه القاعدة على المعادلة الأصلية:

$16^{x^2 + y} + 16^{x + y^2} = 16^{x^2} \cdot 16^y + 16^x \cdot 16^{y^2}$

الآن، نراعي أن الجهة اليمنى من المعادلة تشمل عددين مرفوعين إلى أس، ونرغب في تحويلها إلى قوى أسية متشابهة. نعلم أن $16 = 2^4$، لذا نقوم بتعويض قيمة 16 بقيمة 2 في الأس العلوي:

$2^{4 \cdot (x^2)} \cdot 2^{4y} + 2^{4x} \cdot 2^{4 \cdot (y^2)}$

الآن، نستفيد من قاعدة الضرب للأسس، حيث نضرب الأساس (2) في كل مجموعة:

$2^{4x^2 + 4y} + 2^{4x + 4y^2}$

وهكذا وصلنا إلى تفكيك المعادلة بطريقة تسهل علينا فهمها. الآن، نواجه نفسنا بمعادلة بسيطة:

$2^{4x^2 + 4y} + 2^{4x + 4y^2} = 1$

المعادلة تشير إلى أن مجموع قوى الأساس 2 يساوي واحد. لتحقيق هذا التساوي، يجب أن تكون كل الأسس مساوية للصفر. إذاً:

$4x^2 + 4y = 0$
$4x + 4y^2 = 0$

الآن، نقوم بحساب القيم الممكنة لـ $x$ و $y$ من هاتين المعادلتين. نلاحظ أنه لا يمكن أن تكون القيم غير الصفرية، حيث إذا كانت أحدهما تساوي صفرًا، فإن الأخرى ستكون أيضًا صفرًا. لذا الزوج الوحيد الممكن هو (0،0).

إذاً، الزوج الوحيد الذي يحقق المعادلة الأصلية هو (0،0). وبالتالي، هناك زوج واحد فقط من الأعداد الحقيقية (x،y) الذي يحقق المعادلة المعطاة.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكثر ونذكر القوانين المستخدمة في الحل.

المعادلة التي نريد حلها هي:

$16^{x^2 + y} + 16^{x + y^2} = 1$

أولاً وقبل أن نقوم بأي عمليات حسابية، لنستخدم القاعدة الأساسية للأعداد حيث $16 = 2^4$. باستخدام هذه المعلومة، يمكننا إعادة صياغة المعادلة بشكل أكثر إيضاحاً:

$2^{4(x^2 + y)} + 2^{4(x + y^2)} = 1$

الآن، لنقم بتحليل القاعدة الأسية. نستفيد من قاعدة الأس التي تنص على أن $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. نستخدم هذه القاعدة لتحليل المعادلة:

$2^{4x^2 + 4y} + 2^{4x + 4y^2} = 2^{4x^2} \cdot 2^{4y} + 2^{4x} \cdot 2^{4y^2}$

ثم نستخدم قاعدة الضرب للأسس ($a^{mn} = (a^m)^n$) لتبسيط المعادلة إلى:

$2^{4x^2 + 4y} + 2^{4x + 4y^2} = (2^{4x^2})^1 \cdot (2^{4y})^1 + (2^{4x})^1 \cdot (2^{4y^2})^1$

الآن، نستفيد من قاعدة الأس الأساسية ($a^1 = a$) لتبسيط المعادلة إلى:

$2^{4x^2 + 4y} + 2^{4x + 4y^2} = 2^{4x^2} \cdot 2^{4y} + 2^{4x} \cdot 2^{4y^2}$

وبمراعاة أن الجهة اليمنى تشمل عددين مرفوعين إلى أس، يمكننا دمج الأسس:

$2^{4x^2 + 4y} + 2^{4x + 4y^2} = 2^{4x^2 + 4y} + 2^{4x + 4y^2}$

المعادلة النهائية تصبح:

$2^{4x^2 + 4y} + 2^{4x + 4y^2} = 1$

الآن، نركز على حساب الأسس. لتحقيق المعادلة، يجب أن تكون قيمة الأسس تساوي صفر. لذا:

$4x^2 + 4y = 0$
$4x + 4y^2 = 0$

نقوم بتبسيط المعادلتين:

$x^2 + y = 0$
$x + y^2 = 0$

الحل الوحيد الذي يحقق هذه المعادلات هو $x = 0$ و $y = 0$.

القوانين المستخدمة في الحل هي:

1. قاعدة الأس ($a^{m+n} = a^m \cdot a^n$)
2. قاعدة الضرب للأسس ($a^{mn} = (a^m)^n$)
3. قاعدة الأس الأساسية ($a^1 = a$)

باستخدام هذه القوانين، تم تفكيك المعادلة وحساب الأسس بطريقة تفصيلية ودقيقة للوصول إلى الحل النهائي.