حل معادلات نسبية باستخدام الجبر

إذا كانت قيمة $\frac{a}{b}$ تساوي $\frac{4}{5}$، فإن الناتج من تعبير $\frac{5a – 3b}{5a + 3b}$ هو:

$\frac{5a – 3b}{5a + 3b}$

لحل هذه المعادلة، يمكننا البدء بضرب البسط والمقام في الجهة اليمنى للمعادلة بمضاعف مشترك، وهو $(5a + 3b)$، لتسهيل العملية. ذلك يؤدي إلى:

$\frac{(5a – 3b) \cdot (5a + 3b)}{(5a + 3b) \cdot (5a + 3b)}$

التي يمكن تبسيطها إلى:

$\frac{25a^2 – 9b^2}{25a^2 + 9b^2}$

بعد ذلك، يمكننا إجراء تقليص للكسر عن طريق قسم كل محدد في البسط والمقام على $a^2$ للتسهيل، للحصول على:

$\frac{25 – \frac{9b^2}{a^2}}{25 + \frac{9b^2}{a^2}}$

وبما أننا نعلم أن $\frac{a}{b} = \frac{4}{5}$، يمكننا استخدام هذه المعلومة لتعويض قيمة $\frac{9b^2}{a^2}$ بـ $\frac{9 \cdot 5^2}{4^2}$، مما يؤدي إلى:

$\frac{25 – \frac{9 \cdot 5^2}{4^2}}{25 + \frac{9 \cdot 5^2}{4^2}}$

وبتبسيط هذا التعبير، نحصل على الجواب النهائي.

لحل المسألة المعطاة، نقوم بتطبيق عدة خطوات باستخدام بعض القوانين والتعبيرات الرياضية. لنقم بالتفصيل:

المعطيات:
$\frac{a}{b} = \frac{4}{5}$

التعبير الذي نريد حساب قيمته:
$\frac{5a – 3b}{5a + 3b}$

الخطوة الأولى:
ضرب النسبة الأولى ($\frac{a}{b}$) في المعامل المشترك ($5a + 3b$):

$\frac{a}{b} \times (5a + 3b) = \frac{4}{5} \times (5a + 3b)$

نقوم بإلغاء القسمة بضرب كل جانب في $b$ ونحصل على:

$a(5a + 3b) = \frac{4}{5} \times (5a + 3b) \times b$

التوسيع والتبسيط:

$5a^2 + 3ab = 4a + \frac{12}{5}b$

الخطوة الثانية:
نستخدم المعطاة لتعويض قيمة $\frac{a}{b}$ في المعادلة:

$5a^2 + 3ab = 4a + \frac{12}{5}b$

$5 \times \frac{4}{5} \times a^2 + 3ab = 4a + \frac{12}{5}b$

تبسيط التعبير:

$4a^2 + 3ab = 4a + \frac{12}{5}b$

الخطوة الثالثة:
تنظيف المعادلة من الكسور، نضرب كل جانب في $5$ للتخلص من المقام:

$20a^2 + 15ab = 20a + 12b$

الخطوة الرابعة:
ترتيب المعادلة بنقل كل المصطلحات إلى جهة واحدة:

$20a^2 – 20a + 15ab – 12b = 0$

الخطوة الخامسة:
عامل مشترك من $20a$:

$20a(a – 1) + 3b(5a – 4) = 0$

الخطوة السادسة:
نقسم على $(a – 1)$ ونحصل على:

$20a + 3b \times \frac{5a – 4}{a – 1} = 0$

التوسيع:

$20a + 15b + \frac{12b}{a – 1} = 0$

النهاية:
نحسب قيمة التعبير الذي نريد ($\frac{5a – 3b}{5a + 3b}$) باستخدام القيم المعطاة ($\frac{a}{b} = \frac{4}{5}$)، ونحصل على الإجابة النهائية.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة النسب اللوجاريتمية: $\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$
2. خاصية التحليل الجبري: $a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$
3. قانون الضرب في المعادلات النسبية: $\frac{a}{b} \times c = \frac{ac}{b}$
4. قانون الضرب في المعادلات: $x \times (y + z) = xy + xz$
5. تبسيط التعبيرات الجبرية: استخدام الخواص الجبرية لتبسيط التعبيرات.