حل معادلات لوغاريتمية: تطبيقات وقوانين (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

إذا كان $\log_2 x^2 + \log_{1/2} x = 5$، فما قيمة $x$؟

الحل:

لنقم بحل المعادلة خطوة بخطوة.

أولاً، نستخدم قاعدة اللوغاريتم لتحويل المعادلة إلى صورة أكثر بساطة. لقاعدة اللوغاريتم:
$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

نقوم بتطبيق هذه القاعدة على المعادلة. لنبدأ مع $\log_2 x^2$:

$\log_2 x^2 = \frac{\log x^2}{\log 2}$

و $\log_{1/2} x$:

$\log_{1/2} x = \frac{\log x}{\log (1/2)}$

لكن $\log (1/2)$ يمكن تبسيطه، إذ أن $\log (1/2) = -\log 2$، لذا:

$\log_{1/2} x = \frac{\log x}{-\log 2} = -\frac{\log x}{\log 2}$

الآن، نعود للمعادلة الأصلية:
$\frac{\log x^2}{\log 2} – \frac{\log x}{\log 2} = 5$

نجمع اللوغاريتم في جملة واحدة، فنحصل على:

$\frac{\log x^2 – \log x}{\log 2} = 5$

نستخدم القاعدة $log_a b – log_a c = log_a (b / c)$:

$\frac{\log \frac{x^2}{x}}{\log 2} = 5$

وهذا يمكن تبسيطه إلى:
$\frac{\log x}{\log 2} = 5$

الآن، نقوم بحل المعادلة الناتجة:

$\log x = 5\log 2$

وباستخدام قاعدة اللوغاريتم، نعرف أن:

$x = 2^{5\log 2}$

ومن خواص الأسس، يمكننا كتابة:

$x = (2^{\log 2})^5$

ومن خواص اللوغاريتم، نعرف أن $2^{\log 2} = 2$، لذا:

$x = (2)^5 = 32$

إذاً، قيمة $x$ هي 32.

لحل المسألة $\log_2 x^2 + \log_{1/2} x = 5$، دعونا نقوم بتفصيل الخطوات والقوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون اللوغاريتمات:
   قاعدة اللوغاريتم هي القاعدة الأساسية التي نعتمد عليها في حل هذه المسألة. تنص على أن $\log_a b = c$ إذا وحسب إذا كان $a^c = b$. نحن نعتمد على هذا القانون لتحويل المعادلات اللوغاريتمية إلى صورة تحتوي على الأسس.

2. قوانين الأسس:
   قوانين الأسس تساعدنا في تبسيط التعبيرات التي تحتوي على أسس مختلفة. لدينا قاعدة تقول أنه إذا كان لدينا $a^m \times a^n$، فإن الناتج يكون $a^{m+n}$. هذا القانون مفيد عند دمج اللوغاريتمات.

3. قانون طرح اللوغاريتمات:
   قاعدة مهمة تنص على أن $\log_a b – \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$. هذا يساعد في تبسيط المعادلات التي تحتوي على أكثر من لوغاريتم.

4. تبسيط اللوغاريتمات:
   في هذه المسألة، قمنا بتبسيط اللوغاريتمات باستخدام القوانين المذكورة أعلاه لجعل المعادلة أكثر قابلية للحل.

5. حساب القيمة النهائية:
   بعد تبسيط المعادلة وتحويلها إلى شكل يمكننا حساب قيمة $x$ منه، استخدمنا خصائص الأسس للعثور على القيمة النهائية لـ $x$.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، تمكنا من حل المسألة وايجاد قيمة $x$ التي تحقق المعادلة المعطاة.