حل معادلات رياضية منتهية الدرجة الثانية

إذا كانت $a(a + 7) = 60$ و $b(b + 7) = 60$، حيث $a \neq b$، فإنه يُطلب حساب قيمة $a + b$.

لحل هذه المسألة، نبدأ بفحص المعادلتين:

$a(a + 7) = 60$

$b(b + 7) = 60$

نقوم بفك الضرب في كلتا المعادلتين:

$a^2 + 7a = 60$

$b^2 + 7b = 60$

ثم نقوم بترتيب المعادلتين لتكون عبارة عن معادلات منتهية الدرجة الثانية:

$a^2 + 7a – 60 = 0$

$b^2 + 7b – 60 = 0$

الآن، يمكننا حل هاتين المعادلتين باستخدام العديد من الطرق، ولكن يبدو مناسبًا هنا استخدام العوامل لتفكيكهما. نبحث عن عاملين يجمعان ليعطيان $7$ ويضربان ليعطيان $-60$. يمكننا أن نقوم بهذا البحث عن طريق تجزئة العبارة الربيعية $(a^2 + 7a – 60)$ كالتالي:

$(a + 12)(a – 5) = 0$

وكذلك للمعادلة الثانية:

$(b + 12)(b – 5) = 0$

بالتالي، يمكننا أن نجد قيم $a$ و $b$ من العوامل السابقة. إما أن يكون $a + 12 = 0$ وبالتالي $a = -12$، أو $a – 5 = 0$ وبالتالي $a = 5$.

بناءً على الشرط $a \neq b$، نستبعد القيمة $a = 5$ لتجنب التكرار، ونترك $a = -12$ كقيمة لـ $a$.

الآن، يمكننا استخدام قيمة $a$ لحساب قيمة $b$ باستخدام المعادلة الثانية:

$b(b + 7) = 60$

$(-12 + 7)b = 60$

$-5b = 60$

$b = -12$

أخيرًا، نقوم بجمع قيم $a$ و $b$ للحصول على الناتج النهائي:

$a + b = -12 + (-12) = -24$

إذاً، القيم $a = -12$ و $b = -12$ تحققان المعادلتين المعطاة، والناتج النهائي هو $a + b = -24$.

لنقوم بتفصيل حلا المسألة وذلك باستخدام القوانين والطرق الرياضية المتبعة:

المعادلات المعطاة:

$a(a + 7) = 60$

$b(b + 7) = 60$

نقوم بفك الضرب في كلتا المعادلتين:

$a^2 + 7a = 60$

$b^2 + 7b = 60$

ثم نقوم بترتيب المعادلتين لتكون عبارة عن معادلات منتهية الدرجة الثانية:

$a^2 + 7a – 60 = 0$

$b^2 + 7b – 60 = 0$

القانون المستخدم هنا هو قانون حساب الجذور في المعادلة منتهية الدرجة الثانية، وهو يتيح لنا حساب قيم الغيرات $a$ و $b$. يمكن استخدام العوامل أو طريقة الجذر التربيعي للقيام بهذا.

في هذه المسألة، قمنا باستخدام عوامل العبارة الربيعية لتقسيم المعادلتين إلى عاملين:

$(a + 12)(a – 5) = 0$

$(b + 12)(b – 5) = 0$

ثم حللنا للحصول على قيم $a$ و $b$. إذا كانت إحدى العوامل تساوي صفر، فإن أحد العوامل الأخرى يكون غيره صفر.

الآن، استخدمنا قيمة $a = -12$ لحساب قيمة $b$ باستخدام المعادلة الثانية:

$b(b + 7) = 60$

$-12(-12 + 7)b = 60$

$-5b = 60$

$b = -12$

أخيرًا، جمعنا قيم $a$ و $b$ للحصول على الناتج النهائي:

$a + b = -12 + (-12) = -24$

لذلك، القيم $a = -12$ و $b = -12$ تحققان المعادلتين المعطاة، والناتج النهائي هو $a + b = -24$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون حساب الجذور في المعادلة منتهية الدرجة الثانية.
2. تقنيات عوامل العبارة الربيعية لتقسيم المعادلات.
3. الحساب الجبري والترتيب لتبسيط المعادلات.