حل معادلات خطية بطريقة الجمع والطرح (مسألة رياضيات)

النظام من المعادلات:

لنحل هذا النظام من المعادلات باستخدام طريقة الإحلال أو طريقة الجمع والطرح. سنختار هنا طريقة الجمع والطرح.

للقيام بذلك، نريد التخلص من إحدى المتغيرات بإضافة أو طرح المعادلات مع بعضها البعض. نلاحظ أن معامل $y$ في المعادلتين يتباين بين 5 و -2، وهذا يجعل عملية الجمع أو الطرح تسهل الحل.

نضرب المعادلة الأولى في -2 والمعادلة الثانية في 5 للتخلص من $y$:

الآن نقوم بجمع المعادلتين للتخلص من $y$:

$(-6x + 10y) + (35x + 10y) = 3 + 23.5$
$-6x + 35x + 10y + 10y = 26.5$
$29x + 20y = 26.5$

الآن لدينا معادلة واحدة بمتغيرين فقط.

نقوم بحلها للحصول على قيمة $x$:

$29x = 26.5 – 20y$
$x = \frac{26.5 – 20y}{29}$

نعوض قيمة $x$ في أي من المعادلتين الأصلية. سنختار المعادلة الأولى:

$3 \left( \frac{26.5 – 20y}{29} \right) – 5y = -1.5$

نقوم بحساب هذه العملية للحصول على قيمة $y$.

بعد الحسابات، نجد أن $y = 1.1$

الآن بعد أن حصلنا على قيمة $y$، نستخدمها لحساب قيمة $x$ باستخدام أي من المعادلات الأصلية. سنستخدم المعادلة الأولى:

$3x – 5(1.1) = -1.5$
$3x – 5.5 = -1.5$
$3x = 4$
$x = \frac{4}{3}$

بالتالي، حل المعادلة هو $(x, y) = \left(\frac{4}{3}, 1.1\right)$ في الصيغة العشرية.

لحل النظام من المعادلات:

نستخدم القوانين التالية:

1. طريقة الجمع والطرح: تقوم هذه الطريقة على إضافة أو طرح المعادلات مع بعضها البعض للتخلص من أحد المتغيرات.

2. الإحلال: هي طريقة تستخدم لحل المعادلات المتعددة، حيث نستخدم قيمة متغير معروفة في معادلة لحساب قيمة المتغير الآخر.

نبدأ بتطبيق الطريقة:

1. نقوم بتضبيط المعادلات للتخلص من إحدى المتغيرات. في هذه الحالة، نستخدم $y$ لأن المعاملات متناقضة، ولكن يمكن التخلص منه بسهولة.

2. نضرب المعادلة الأولى في -2 والمعادلة الثانية في 5 للتخلص من $y$:

3. نجمع المعادلات للتخلص من $y$:

$(-6x + 10y) + (35x + 10y) = 3 + 23.5$
$-6x + 35x + 10y + 10y = 26.5$
$29x + 20y = 26.5$

4. نقوم بحساب $x$ باعتبار أن $29x + 20y = 26.5$. نقوم بتبسيط المعادلة وحلها للحصول على $x$.

5. بعد ذلك، نستخدم القيمة التي حصلنا عليها ل $x$ في أي من المعادلات الأصلية لحساب $y$.

6. نحصل على قيمة $x$ و $y$، ونكتب الإجابة كزوج مرتب بالصيغة العشرية.

هذه الطريقة تستند إلى قوانين الجبر والمعادلات الخطية، حيث نقوم بتطبيق العمليات الرياضية الأساسية على المعادلات للتخلص من المتغيرات وحساب القيم.