مسائل رياضيات

حل معادلات خطية بأسلوب التبادل (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 16/01/2024
0

نبدأ بإعادة صياغة المعادلات الرياضية:

2x−3y=−55x−2y=4\begin{align*} 2x – 3y &= -5 \\ 5x – 2y &= 4 \\ \end{align*}

لحل هذا النظام من المعادلات، يمكننا استخدام أساليب متعددة مثل الطريقة التبادلية أو الاستبدال. في هذا السياق، سنستخدم الطريقة التبادلية.

مواضيع ذات صلة

نقوم بضرب المعادلة الأولى في 2 للتخلص من معامل xx في المعادلة الثانية:

4x−6y=−105x−2y=4\begin{align*} 4x – 6y &= -10 \\ 5x – 2y &= 4 \\ \end{align*}

ثم نقوم بجمع المعادلتين معًا للتخلص من معامل xx:

(4x−6y)+(5x−2y)=−10+49x−8y=−6\begin{align*} (4x – 6y) + (5x – 2y) &= -10 + 4 \\ 9x – 8y &= -6 \\ \end{align*}

الآن، نقوم بحل المعادلة الجديدة للحصول على قيمة xx:

9x−8y=−69x=8y−6x=8y−69\begin{align*} 9x – 8y &= -6 \\ 9x &= 8y – 6 \\ x &= \frac{8y – 6}{9} \end{align*}

الآن نستبدل قيمة xx في المعادلة الأولى للحصول على قيمة yy:

2(8y−69)−3y=−516y−129−3y=−516y−12−27y=−45−11y=−33y=3\begin{align*} 2\left(\frac{8y – 6}{9}\right) – 3y &= -5 \\ \frac{16y – 12}{9} – 3y &= -5 \\ 16y – 12 – 27y &= -45 \\ -11y &= -33 \\ y &= 3 \end{align*}

الآن، نستخدم قيمة yy في المعادلة التي تمثل xx للحصول على قيمة xx:

x=8y−69x=8(3)−69x=24−69x=189x=2\begin{align*} x &= \frac{8y – 6}{9} \\ x &= \frac{8(3) – 6}{9} \\ x &= \frac{24 – 6}{9} \\ x &= \frac{18}{9} \\ x &= 2 \end{align*}

إذًا، الزوج المرتب (x,y)(x, y) الذي يحقق الشرطين في المعادلتين هو (2,3)(2, 3).

المزيد من المعلومات

لحل هذه المسألة، سنقوم باستخدام الطريقة التبادلية للتخلص من إحدى المتغيرات ومن ثم حساب القيمة الأخرى. لنقم بذلك، نتبع الخطوات التالية:

المعادلات الأصلية:

2x−3y=−5(1)5x−2y=4(2)\begin{align*} 2x – 3y &= -5 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1) \\ 5x – 2y &= 4 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) \end{align*}

الخطوة 1: ضرب المعادلة (1) في 2:

4x−6y=−10(3)\begin{align*} 4x – 6y &= -10 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3) \end{align*}

الخطوة 2: جمع المعادلة (3) مع المعادلة (2):

(4x−6y)+(5x−2y)=−10+49x−8y=−6(4)\begin{align*} (4x – 6y) + (5x – 2y) &= -10 + 4 \\ 9x – 8y &= -6 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (4) \end{align*}

الخطوة 3: حساب xx باستخدام المعادلة (4):

9x=8y−6x=8y−69(5)\begin{align*} 9x &= 8y – 6 \\ x &= \frac{8y – 6}{9} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (5) \end{align*}

الخطوة 4: إعادة تعويض xx في المعادلة الأصلية (1):

2(8y−69)−3y=−516y−129−3y=−516y−12−27y=−45−11y=−33y=3(6)\begin{align*} 2\left(\frac{8y – 6}{9}\right) – 3y &= -5 \\ \frac{16y – 12}{9} – 3y &= -5 \\ 16y – 12 – 27y &= -45 \\ -11y &= -33 \\ y &= 3 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (6) \end{align*}

الخطوة 5: إعادة تعويض yy في المعادلة (5) لحساب xx:

x=8y−69x=8(3)−69x=24−69x=2(7)\begin{align*} x &= \frac{8y – 6}{9} \\ x &= \frac{8(3) – 6}{9} \\ x &= \frac{24 – 6}{9} \\ x &= 2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (7) \end{align*}

الخطوة 6: التحقق من الحل:
نستخدم القيم المحسوبة x=2x = 2 و y=3y = 3 في المعادلتين الأصليتين للتحقق من صحة الحل:

للمعادلة (1):

2(2)−3(3)=4−9=−5(صحيح)2(2) – 3(3) = 4 – 9 = -5 \quad \text{(صحيح)}

للمعادلة (2):

5(2)−2(3)=10−6=4(صحيح)5(2) – 2(3) = 10 – 6 = 4 \quad \text{(صحيح)}

القوانين المستخدمة:

  1. الضرب في ثابت: ضرب المعادلة في ثابت يساعد في تخلص من المتغيرات للتسهيل في الحل.
  2. الجمع والطرح: جمع أو طرح المعادلات للتخلص من إحدى المتغيرات والحصول على معادلة جديدة.
  3. التعويض: استخدام القيم المحسوبة لإعادة تعويضها في المعادلات الأصلية للتحقق من صحة الحل.

اخر تحديث 16/01/2024
0