حل معادلات المطلقات بالرياضيات (مسألة رياضيات)

المعادلة التي علينا حلها هي:

$|x – 7| = |x + 1|$

لحل هذه المعادلة، سنقوم بتقسيمها إلى حالتين محتملتين استنادًا إلى قيم $x$ المختلفة.

1. عندما $x \geq -1$
   $|x – 7| = x – 7$
   $|x + 1| = x + 1$

ومن ثم يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي:
$x – 7 = x + 1$

هذه المعادلة ليست صحيحة، لأن الفارق بين $x – 7$ و $x + 1$ يكون أكبر عندما $x = 7$، وهو يتناقص عندما $x \geq 7$، ولكنه يتزايد عندما $x < 7$. لذلك، لا توجد حلول في هذه الحالة.

2. عندما $x < -1$
   $|x – 7| = -(x – 7)$
   $|x + 1| = -(x + 1)$

ومن ثم يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي:
$-(x – 7) = -(x + 1)$
$-x + 7 = -x – 1$
$7 = -1$

هذه المعادلة غير صحيحة ولا تمتثل لأي قواعد رياضية، لذلك لا توجد حلول في هذه الحالة أيضًا.

بالتالي، نستنتج أن المعادلة الأصلية $|x – 7| = |x + 1|$ لا تحتوي على أي حلول.

لحل المعادلة $|x – 7| = |x + 1|$ بشكل مفصل، نحتاج إلى فهم القوانين الرئيسية لقيم مطلقة وكيفية التعامل معها.

1. قاعدة القيم المطلقة:
   للعدد $a$، قيمته المطلقة $|a|$ تكون مسافة $a$ عن الصفر على المحور العددي. بمعنى آخر، إذا كان $a$ عددًا حقيقيًا، فإن $|a|$ هو المسافة بين $a$ والصفر على المحور العددي.

2. حالات التكافؤ:
   عندما نقول إن $|x – 7| = |x + 1|$، فإننا نعني أن القيم المطلقة لـ$x – 7$ و$x + 1$ متساوية. هذا يعني أننا نحتاج إلى اختبار القيم المختلفة لـ$x$ للعثور على القيم التي تجعل المعادلة صحيحة.

3. حل المعادلة:
   سنفحص حالات مختلفة لقيم $x$، مع التحقق من أن القيمتين $|x – 7|$ و $|x + 1|$ تساويان بالفعل.

باستخدام هذه القوانين، يمكننا الآن حل المعادلة:

لحل المعادلة $|x – 7| = |x + 1|$، نفحص الحالات التالية:

1. عندما $x \geq 7$:
   في هذه الحالة، يمكننا كتابة المعادلة على النحو التالي:
   $|x – 7| = x – 7$
   $|x + 1| = x + 1$
   لكن عندما نقوم بفحصها، نجد أنه لا يمكن أن تكون القيم متساوية لأي $x$ في هذه الحالة، لذلك لا يوجد حل في هذه النطاق.

2. عندما $x < 7$:
   في هذه الحالة، يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي:
   $|x – 7| = -(x – 7)$
   $|x + 1| = -(x + 1)$
   بعد الفحص، نجد أنه لا يوجد أي قيمة $x$ تلبي هذه المعادلة، لأنها تنتهك القوانين الأساسية للرياضيات.

بناءً على الفحص الدقيق لكل الحالات، نستنتج أن المعادلة $|x – 7| = |x + 1|$ لا تمتلك أي حلول حقيقية.