حل معادلات الأسس بالجبر. (مسألة رياضيات)

المعادلة التي يجب حلها هي: $9^n \cdot 9^n \cdot 9^n \cdot 9^n = 81^4$.

لحل هذه المعادلة، يمكننا مبسطة الجهة اليمنى عن طريق تمثيل $81$ بشكل مبسط، حيث أن $81 = 9^2$. إذاً:

$81^4 = (9^2)^4 = 9^{2 \cdot 4} = 9^8$

الآن يمكننا تعبير المعادلة بشكل مبسط:

$9^n \cdot 9^n \cdot 9^n \cdot 9^n = 9^8$

لحل المعادلة الجديدة، يمكننا تجميع الأسس عن طريق جمع الأسس المتشابهة في الجهة اليسرى:

$9^{n + n + n + n} = 9^8$

الآن نستطيع إعادة كتابة المعادلة بشكل أكثر بساطة:

$9^{4n} = 9^8$

لحل المعادلة، يكفي أن نعادل الأسس:

$4n = 8$

ثم نحسب قيمة $n$:

$n = \frac{8}{4} = 2$

إذاً، القيمة التي تحقق المعادلة هي $n = 2$.

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والخوارزميات الأساسية في الجبر وحساب الأسس. هذه هي الخطوات بتفاصيل أكثر:

1. قوانين حساب الأسس:

   • قاعدة ضرب الأسس: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
   • قاعدة قوة القوة: $(a^m)^n = a^{m \times n}$

2. بداية الحل:
   نبدأ بتحليل المعادلة $9^n \cdot 9^n \cdot 9^n \cdot 9^n = 81^4$.

3. تحليل الأعداد:
   ملاحظة مهمة هي أن $81 = 9^2$.

4. تطبيق القوانين:
   نستخدم قاعدة الأسس لتبسيط العبارة. نقوم بتجميع الأسس بقوانين الأسس:
   $9^n \cdot 9^n \cdot 9^n \cdot 9^n = (9^n)^4 = 9^{n \times 4}.$

5. تبسيط العبارة:
   نحاول جعل الأسين متساوية:
   $9^{4n} = 9^8.$

6. حل المعادلة:
   بما أن قواعد الأسس تقول إنه عندما تكون الأساسات متساوية، فإن الأسين يكونوا متساوين أيضًا. لذا:
   $4n = 8.$

7. الحساب:
   نقوم بحساب قيمة $n$ عن طريق حل المعادلة السابقة:
   $n = \frac{8}{4} = 2.$

8. الإجابة:
   بالتالي، قيمة $n$ التي تحقق المعادلة الأصلية هي $n = 2$.

هذه الخطوات تستند إلى قوانين حسابية أساسية وخوارزميات الجبر الخاصة بالأسس والتي تستخدم لحل معادلات الأسس بطريقة دقيقة ومنطقية.