حل مصفوفة 3×3 باستخدام قوانين الجبر (مسألة رياضيات)

لنقم بتقييم قيمة المحدد الذي طُلب منا حسابه، وهو محدد مصفوفة $3 \times 3$ كما هو موضح في المعادلة. نقوم بحساب القيمة لهذا المحدد بواسطة طريقة التفكيك التقليدية للمصفوفات. نكتب المصفوفة كالتالي:

$\begin{vmatrix} X & x & y \\ 1 & x + y & y \\ 1 & x & x + y \end{vmatrix}$

نقوم بتطبيق القاعدة الثلاثية الأولى لتطوير المحدد. لنتابع بحساب القيمة:

$X \begin{vmatrix} x + y & y \\ x & x + y \end{vmatrix} – x \begin{vmatrix} 1 & y \\ 1 & x + y \end{vmatrix} + y \begin{vmatrix} 1 & x + y \\ 1 & x \end{vmatrix}$

الآن نقوم بحساب قيم المحددين الفرعيين الموجودين ضمن المصفوفات الصغيرة:

$X \left( (x+y)(x+y) – xy \right) – x \left( (x+y) – y \right) + y \left( x – (x+y) \right)$

الآن نواصل التبسيط:

$X \left( x^2 + 2xy + y^2 – xy \right) – x \left( x \right) + y \left( x – x – y \right)$

$X \left( x^2 + xy + y^2 \right) – x^2 – y^2$

وباستخدام المعلومة المعطاة أن القيمة المطلوبة تكون xy، يمكننا إعادة كتابة المعادلة بالتساوي:

$X \left( x^2 + xy + y^2 \right) – x^2 – y^2 = xy$

الآن نقوم بحساب قيمة المحدد X:

$X = \frac{x^2 + y^2}{x}$

إذاً، قيمة المحدد المطلوبة هي $\frac{x^2 + y^2}{x}$.

لحل هذه المسألة، قمنا باستخدام قاعدة تفكيك المصفوفات (Determinant Expansion) وتفكيك المحددات للوصول إلى قيمة المحدد المطلوب، الذي هو $X$. قوانين الجبر المستخدمة في هذا الحل تشمل:

1. القاعدة الثلاثية الأولى لتطوير المصفوفات (Determinant Expansion Rule):
   إذا كانت لدينا مصفوفة ذات درجة $n$، يمكننا تطوير المحدد باستخدام أحد الصفوف أو الأعمدة، وذلك باستخدام العلاقة:
   $\text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \ldots + a_{1n}C_{1n}$
   حيث $C_{ij}$ هو المحدد الفرعي للصف $i$ والعمود $j$، ويمثله العبارة $(-1)^{i+j}M_{ij}$ حيث $M_{ij}$ هو المحدد الفرعي الذي يتم الحصول عليه بحذف الصف $i$ والعمود $j$ من المصفوفة الأصلية وحساب المحدد الرئيسي للمصفوفة المتبقية.

2. التعويض في المصفوفات:
   عند تطبيق قاعدة التفكيك، استخدمنا قاعدة التعويض لحساب المحددات الفرعية، حيث حسبنا المحددات الفرعية باستخدام المحددات الرئيسية لمصفوفات صغيرة تتكون من صفوف وأعمدة محددة.

3. الجمع والطرح في الجبر:
   نظرًا لأن الحسابات تشمل عمليات الجمع والطرح، تم استخدام قوانين الجمع والطرح في الجبر لتبسيط التعابير والوصول إلى الحلا.

4. التبسيط الجبري:
   تم استخدام قوانين التبسيط الجبري لتبسيط التعابير الرياضية وتقليلها إلى صورة أكثر بساطة.

5. التعامل مع الأسس والضرب:
   في بعض الخطوات، تطلب الحسابات التعامل مع مصفوفات أو تعابير تحتوي على أسس وضرب، وتم استخدام قوانين الجبر المعمول بها في هذا السياق.

بهذه الطريقة، قمنا بتفكيك المحدد الكبير إلى مجموعة من المحددات الفرعية الأصغر، وقمنا بتطبيق القوانين المذكورة أعلاه للوصول إلى الحلا النهائي.