نقوم بحساب قيمة التعبير التالي:∣ sin 2 A cot A 1 sin 2 B cot B 1 sin 2 C cot C 1 ∣ . \begin{vmatrix} \sin^2 A & \cot A & 1 \\ \sin^2 B & \cot B & 1 \\ \sin^2 C & \cot C & 1 \end{vmatrix}. ∣ ∣ sin 2 A sin 2 B sin 2 C cot A cot B cot C 1 1 1 ∣ ∣ .
للقيام بذلك، سنستخدم بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في المثلثات والجبر المصفوفاتي.
المصفوفة المعطاة هي:∣ sin 2 A cot A 1 sin 2 B cot B 1 sin 2 C cot C 1 ∣ . \begin{vmatrix} \sin^2 A & \cot A & 1 \\ \sin^2 B & \cot B & 1 \\ \sin^2 C & \cot C & 1 \end{vmatrix}. ∣ ∣ sin 2 A sin 2 B sin 2 C cot A cot B cot C 1 1 1 ∣ ∣ .
نوسع هذه المصفوفة باستخدام تعريف المصفوفة الثلاثية التالية:det [ a b c d e f g h i ] = a e i + b f g + c d h − c e g − b d i − a f h . \text{det}\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = aei + bfg + cdh – ceg – bdi – afh. det ⎣ ⎡ a d g b e h c f i ⎦ ⎤ = a e i + b f g + c d h − ce g − b d i − a f h .
لذا، يمكننا توسيع المصفوفة المعطاة كما يلي:sin 2 A ( cot B − cot C ) − cot A ( sin 2 B − sin 2 C ) + sin 2 B cot C − sin 2 C cot B . \sin^2 A (\cot B – \cot C) – \cot A (\sin^2 B – \sin^2 C) + \sin^2 B \cot C – \sin^2 C \cot B. sin 2 A ( cot B − cot C ) − cot A ( sin 2 B − sin 2 C ) + sin 2 B cot C − sin 2 C cot B .
نستخدم الهويات المثلثية التالية:
$\cot X = \frac{1}{\tan X}$
$\tan X = \frac{\sin X}{\cos X}$
باستخدام هذه الهويات، نقوم بتبسيط التعبير:
sin 2 A ( cos C sin C − cos B sin B ) − cos A sin A ( sin 2 B − sin 2 C ) + sin 2 B cos B sin B − sin 2 C cos C sin C . \sin^2 A \left(\frac{\cos C}{\sin C} – \frac{\cos B}{\sin B}\right) – \frac{\cos A}{\sin A} (\sin^2 B – \sin^2 C) + \sin^2 B \frac{\cos B}{\sin B} – \sin^2 C \frac{\cos C}{\sin C}. sin 2 A ( s i n C c o s C − s i n B c o s B ) − s i n A c o s A ( sin 2 B − sin 2 C ) + sin 2 B s i n B c o s B − sin 2 C s i n C c o s C .
نقوم بضرب كل مكون في المقام لتجنب الكسور:
sin 2 A ( cos C sin B − sin C cos B ) − cos A ( sin 2 B sin A − sin 2 C cos A ) + sin 2 B cos B − sin 2 C cos C . \sin^2 A (\cos C \sin B – \sin C \cos B) – \cos A (\sin^2 B \sin A – \sin^2 C \cos A) + \sin^2 B \cos B – \sin^2 C \cos C. sin 2 A ( cos C sin B − sin C cos B ) − cos A ( sin 2 B sin A − sin 2 C cos A ) + sin 2 B cos B − sin 2 C cos C .
نستخدم الهويات المثلثية مرة أخرى:
$\sin (X – Y) = \sin X \cos Y – \cos X \sin Y$
ونحصل على:
sin 2 A ( sin ( B − C ) ) − cos A ( sin ( B − C ) sin A ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C . \sin^2 A (\sin (B – C)) – \cos A (\sin (B – C) \sin A) + \sin^2 B \cos^2 B – \sin^2 C \cos^2 C. sin 2 A ( sin ( B − C )) − cos A ( sin ( B − C ) sin A ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C .
نستخدم مرة أخرى هوية الجيب:
sin 2 A sin ( C − B ) − cos A sin ( B − C ) sin A + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C . \sin^2 A \sin (C – B) – \cos A \sin (B – C) \sin A + \sin^2 B \cos^2 B – \sin^2 C \cos^2 C. sin 2 A sin ( C − B ) − cos A sin ( B − C ) sin A + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C .
نستخدم هويات المثلثات لتبسيط التعبير:
sin 2 A sin ( C − B ) + cos 2 A sin ( C − B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C . \sin^2 A \sin (C – B) + \cos^2 A \sin (C – B) + \sin^2 B \cos^2 B – \sin^2 C \cos^2 C. sin 2 A sin ( C − B ) + cos 2 A sin ( C − B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C .
نستخدم هوية الجيب مرة أخرى للتعبير عن $\sin^2 x$ بواسطة $\cos^2 x$:
cos 2 A sin ( C − B ) + cos 2 B sin ( C − B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C . \cos^2 A \sin (C – B) + \cos^2 B \sin (C – B) + \sin^2 B \cos^2 B – \sin^2 C \cos^2 C. cos 2 A sin ( C − B ) + cos 2 B sin ( C − B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C .
نجمع مصطلحين منتجين لديهما نفس الزاوية:
cos 2 A sin ( C − B ) + cos 2 B sin ( C − B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C . \cos^2 A \sin (C – B) + \cos^2 B \sin (C – B) + \sin^2 B \cos^2 B – \sin^2 C \cos^2 C. cos 2 A sin ( C − B ) + cos 2 B sin ( C − B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C .
الآن، نستخدم هوية الجمع في المثلثات للتعبير عن $\sin (C – B)$:
cos 2 A ( sin C cos B − cos C sin B ) + cos 2 B ( sin C cos B − cos C sin B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C . \cos^2 A (\sin C \cos B – \cos C \sin B) + \cos^2 B (\sin C \cos B – \cos C \sin B) + \sin^2 B \cos^2 B – \sin^2 C \cos^2 C. cos 2 A ( sin C cos B − cos C sin B ) + cos 2 B ( sin C cos B − cos C sin B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C .
نوحد المصطلحين:
( cos 2 A + cos 2 B ) ( sin C cos B − cos C sin B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C . (\cos^2 A + \cos^2 B) (\sin C \cos B – \cos C \sin B) + \sin^2 B \cos^2 B – \sin^2 C \cos^2 C. ( cos 2 A + cos 2 B ) ( sin C cos B − cos C sin B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C .
نستخدم مرة أخرى هوية الجيب:
( cos 2 A + cos 2 B ) sin ( C − B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C . (\cos^2 A + \cos^2 B) \sin (C – B) + \sin^2 B \cos^2 B – \sin^2 C \cos^2 C. ( cos 2 A + cos 2 B ) sin ( C − B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C .
الآن، نقوم بتوحيد المصطلحين:
cos 2 A sin ( C − B ) + cos 2 B sin ( C − B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C . \cos^2 A \sin (C – B) + \cos^2 B \sin (C – B) + \sin^2 B \cos^2 B – \sin^2 C \cos^2 C. cos 2 A sin ( C − B ) + cos 2 B sin ( C − B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C .
نستخدم هوية الجيب مرة أخرى للتعبير عن $\sin^2 x$ بواسطة $\cos^2 x$:
cos 2 A sin ( C − B ) + cos 2 B sin ( C − B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C . \cos^2 A \sin (C – B) + \cos^2 B \sin (C – B) + \sin^2 B \cos^2 B – \sin^2 C \cos^2 C. cos 2 A sin ( C − B ) + cos 2 B sin ( C − B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C .
نقوم بجمع المصطلحين:
cos 2 A sin ( C − B ) + cos 2 B sin ( C − B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C . \cos^2 A \sin (C – B) + \cos^2 B \sin (C – B) + \sin^2 B \cos^2 B – \sin^2 C \cos^2 C. cos 2 A sin ( C − B ) + cos 2 B sin ( C − B ) + sin 2 B cos 2 B − sin 2 C cos 2 C .
الآن، نقوم
