حل مشكلة متتابعة هندسية: قيمة العنصر الأول (مسألة رياضيات)

المتتابعة الهندسية هي تسلسل من الأرقام حيث يمكن ضرب كل عنصر في العنصر السابق بثابت غير صفر يسمى النسبة النهائية. لنحل هذه المشكلة الحسابية، لنمثل العناصر كالتالي:

العنصر الأول: $a$
العنصر الثاني: $ar$
العنصر الثالث: $ar^2$
العنصر الرابع: $ar^3$

وهكذا نستمر. في هذه المشكلة، العنصر الثاني هو 2 والعنصر الرابع هو 6. لذا:

$ar = 2$
$ar^3 = 6$

نقوم بقسم المعادلتين للحصول على القيمة الممكنة للنسبة النهائية $r$:

$\frac{ar^3}{ar} = \frac{6}{2}$

تبسيط الكسر:

$r^2 = 3$

ثم نأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

$r = \sqrt{3}$

الآن نعود إلى المعادلة الأولى لحساب القيمة الممكنة للعنصر الأول $a$:

$ar = 2$

نعوض قيمة $r$ التي حسبناها:

$a \sqrt{3} = 2$

ونحسب قيمة $a$:

$a = \frac{2}{\sqrt{3}}$

لكن يجب تنظيف الكسر من الجذر التربيعي في البسط والمقام. نقوم بضرب الكسر في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ للتخلص من الجذر في البسط:

$a = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

النتيجة:

$a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

إذاً، القيمة الممكنة للعنصر الأول $a$ هي $\frac{2\sqrt{3}}{3}$. وبالتالي، الإجابة الصحيحة هي:

B. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

بالطبع، سنقوم بتوسيع الشرح وذلك باستخدام قوانين المتتابعات الهندسية والجبر. لنحل المشكلة، نستخدم القوانين التالية:

1. تعريف المتتابعة الهندسية:
   إذا كانت $a$ هي العنصر الأول في المتتابعة الهندسية، و$r$ هو النسبة النهائية (التي تبقى ثابتة)، فإن العناصر اللاحقة تُحسب بواسطة العلاقة التالية:
   $a_n = a \cdot r^{(n-1)}$

   حيث $a_n$ هو العنصر الثالث، و$n$ هو الموقع الذي نريد حساب العنصر فيه.

2. معادلات المتتابعة الهندسية:
   إذا كانت $a$ هي العنصر الأول، و$r$ هو النسبة النهائية، يمكننا كتابة المعادلات التالية:
   $ar = \text{العنصر الثاني}$
   $ar^3 = \text{العنصر الرابع}$

   في حالتنا، العنصر الثاني هو 2 والعنصر الرابع هو 6.

الآن لنبدأ بحل المشكلة:

1. حساب قيمة $r$:
   نقوم بقسم العنصر الرابع على العنصر الثاني:
   $\frac{ar^3}{ar} = \frac{6}{2}$

   تبسيط الكسر:
   $r^2 = 3$

   وباستخدام الجذر التربيعي:
   $r = \sqrt{3}$

2. حساب قيمة $a$:
   نستخدم المعادلة الأولى للمتتابعة الهندسية:
   $ar = 2$

   نعوض فيها قيمة $r$ التي حسبناها:
   $a \sqrt{3} = 2$

   ونقوم بحساب قيمة $a$:
   $a = \frac{2}{\sqrt{3}}$

   ولتنظيف الكسر، نضرب في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$:
   $a = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

   النتيجة:
   $a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

   وهذه هي القيمة الممكنة للعنصر الأول $a$.

في هذا الحل، استخدمنا تعريف المتتابعة الهندسية ومعادلاتها للوصول إلى القيم المطلوبة. قوانين الجبر والتلاعب بالمعادلات تلعب دورًا أساسيًا في حل المشكلات الحسابية كهذه.