حل مشكلة الأشخاص في المربع

بدأ عدد من الأشخاص يقفون في مربع. تمت إزالة 32 منهم ثم تشكيل مربع صغير، ثم تمت إزالة 8 آخرين. الآن لا يمكننا تشكيل المربع. كم عدد الأشخاص في البداية؟

الحل:

لنمثل عدد الأشخاص في المربع الأصلي بـ “س”. إذاً، كانت العملية كالتالي:

1. في البداية: س^2 (المربع الأصلي)
2. بعد إزالة 32 شخصًا: (س – 32)^2 (تشكيل مربع صغير)
3. ثم تمت إزالة 8 آخرين: (س – 32)^2 – 8

لكننا نعلم أنه لا يمكن تشكيل المربع بعد هذه الخطوة، لذا يجب أن نعدل النهاية لتكون غير قابلة للتشكيل. يحدث ذلك عندما يكون عدد الأشخاص في المربع الصغير هو 0 أو سالبًا. لنحسب ذلك:

(س – 32)^2 – 8 = 0

نحل المعادلة:

(س – 32)^2 = 8

س – 32 = ±√8

س = 32 + √8 أو س = 32 – √8

لكن يجب أن يكون عدد الأشخاص إيجابيًا، لذلك نختار القيمة الإيجابية:

س = 32 + √8

الآن، لحساب قيمة س:

س = 32 + √8 ≈ 37.83

إذاً، كان عدد الأشخاص في البداية حوالي 37.83 شخصًا، ولكن يجب أن يكون العدد صحيحًا، لذا نقربه لأقرب عدد صحيح:

س = 38

إذا كان عدد الأشخاص في البداية هو 38 شخصًا.

لنقم بفحص المشكلة بتفصيل أكبر واستخدام بعض القوانين الرياضية في حلها. نشرع بتعريف الرموز:

• س: عدد الأشخاص في المربع الأصلي.
• (س – 32): عدد الأشخاص بعد إزالة 32 منهم وتشكيل المربع الصغير.
• (س – 32 – 8): عدد الأشخاص بعد إزالة 8 آخرين، وهو عدد الأشخاص في المربع الصغير.

المعادلة التي تمثل الموقف النهائي حيث لا يمكن تشكيل المربع هي:

$(س – 32 – 8)^2 = 0$

نحل هذه المعادلة:

$(س – 40)^2 = 0$

$س – 40 = 0$

$س = 40$

لكن يجب أن نتحقق من صحة الحل. إذاً، نعيد التحقق من المراحل:

1. المربع الأصلي: $س^2$.
2. بعد إزالة 32: $(س – 32)^2$.
3. بعد إزالة 8 آخرين: $(س – 40)^2$.

نشير إلى أن:

$(س – 32)^2$ هو المربع الصغير الذي تم تشكيله.

$(س – 40)^2$ هو المربع الذي لا يمكن تشكيله.

الفرق بينهما هو 8، وهذا يتمثل في الأشخاص الـ8 الذين تم إزالتهم. لذا، يتوافق الحل مع الموقف المتوقع.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون التوسيع الجبري: $(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$
2. قانون الجذر: إذا كان $x^2 = y$، فإن $x = ±\sqrt{y}$.

نستخدم قوانين الجبر والجذر لحساب القيم المطلوبة والتحقق من صحة الحل.