حل مسائل هندسية بالمعادلات والمثلثات (مسألة رياضيات)

الخط $l_1$ له معادلة $3x – 2y = 1$ ويمر عبر النقطة $A = (-1, -2)$. الخط $l_2$ له معادلة $y = 1$ ويتقاطع مع الخط $l_1$ في النقطة $B$. الخط $l_3$ له ميل إيجابي، يمر عبر النقطة $A$، ويتقاطع مع $l_2$ في النقطة $C$. مساحة المثلث $ABC$ هي $X$. ما هو ميل الخط $l_3$؟ إذا كنا نعرف أن الإجابة على السؤال السابق هي $\frac{3}{4}$، فما هو قيمة المتغير المجهول $X$؟

لحل المسألة، سنقوم بالخطوات التالية:

1. حساب إحداثيات النقطة $B$:
   لحساب إحداثيات النقطة $B$، سنقوم بحل نظام المعادلات بين $l_1$ و $l_2$.
   نستخدم معادلتي $l_1$ و $l_2$ لحساب القيمة المطلوبة:
   $3x – 2y = 1 \quad \text{و} \quad y = 1.$
   نستبدل قيمة $y$ في المعادلة الأولى:
   $3x – 2(1) = 1.$
   ثم نقوم بحل المعادلة للحصول على $x$:
   $3x – 2 = 1.$
   $3x = 3.$
   $x = 1.$
   لذلك، $x = 1$.
   الآن، باستخدام المعادلة الثانية $y = 1$، نعرف أن $y = 1$.
   لذلك، إحداثيات النقطة $B$ هي $B(1, 1)$.

2. حساب ميل الخط $l_3$:
   ميل الخط يتم تحديده من معادلة الخط. حيث أن الخط $l_3$ يمر عبر النقطة $A$ والنقطة $C$ وله ميل إيجابي، نستخدم نقطتي $A(-1, -2)$ و $C(x, 1)$.
   لحساب الميل، نستخدم الصيغة التالية:
   $m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}.$
   حيث أن $A(-1, -2)$ و $C(x, 1)$، لذلك:
   $m = \frac{1 – (-2)}{x – (-1)} = \frac{3}{x + 1}.$
   نعلم أن $m = \frac{3}{4}$، لذلك:
   $\frac{3}{4} = \frac{3}{x + 1}.$
   لحل المعادلة للحصول على قيمة $x$، نقوم بضرب الطرفين في $x + 1$:
   $4 \times 3 = 3 \times (x + 1).$
   $12 = 3x + 3.$
   نطرح 3 من الجانبين:
   $12 – 3 = 3x.$
   $9 = 3x.$
   $x = 3.$
   لذلك، $x = 3$.

3. حساب مساحة المثلث $ABC$:
   الآن، بمعرفة إحداثيات النقاط $A$، $B$، و $C$، يمكننا حساب مساحة المثلث باستخدام قاعدة المثلث:
   $X = \frac{1}{2} \times \text{قاعدة} \times \text{الارتفاع}.$
   قاعدة المثلث هي المسافة بين النقطتين $B$ و $C$، والتي هي فارغة $\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$.
   $BC = \sqrt{(3 – 1)^2 + (1 – 1)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2.$
   الارتفاع هو المسافة بين النقطتين $A$ و $l_2$، والتي هي $|-2 – 1| = 3$.
   لذلك:
   $X = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3.$

لذلك، المسافة المجهولة $X$ تساوي 3. وميل الخط $l_3$ يتم تحديده عن طريق الصيغة $\frac{3}{x + 1}$، وبعد حل المعادلة، نجد أن $x = 3$، لذلك ميل الخط $l_3$ يساوي $\frac{3}{4}$.

لحل المسألة، استخدمنا عدة مفاهيم وقوانين رياضية:

1. معادلة الخط العامة:
   استخدمنا معادلات الخطوط لتحديد مواقع النقاط وتحديد الميل. معادلة الخط العامة هي $y = mx + c$ حيث أن $m$ هو الميل و $c$ هو قطع الخط على محور $y$.

2. تحديد نقطة التقاطع بين الخطوط:
   لحساب نقطة التقاطع بين خطين، قمنا بحل نظام من المعادلات للحصول على القيم المطلوبة.

3. ميل الخط:
   الميل للخط يمكن حسابه باستخدام فارق الارتفاع على فارق الأفق، أو باستخدام الصيغة $m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$ بين نقطتين على الخط.

4. مساحة المثلث:
   لحساب مساحة المثلث، استخدمنا الصيغة التقليدية $\frac{1}{2} \times \text{قاعدة} \times \text{الارتفاع}$، حيث تعتبر القاعدة هي المسافة بين نقطتين، والارتفاع هو الارتفاع العمودي بين قاعدة المثلث والنقطة الثالثة.

5. قانون فيثاغورس:
   استخدمنا قانون فيثاغورس لحساب المسافة بين نقطتين في المستوى.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، تمكنا من تحديد إحداثيات نقطة التقاطع بين الخطوط، وبناء المثلث، وحساب مساحته، وتحديد ميل الخط الذي يمر عبر نقطتين معروفتين. كل هذه الخطوات تساهم في فهم العلاقات الهندسية بين الأشكال والمنحنيات في المستوى الإقليدي.