حل مسائل نظم المعادلات الخطية. (مسألة رياضيات)

نقوم بحل المعادلات التالية:

\begin{align*} b + c &= 12 – 3a \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)\\ a + c &= -14 – 3b \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)\\ a + b &= 7 – 3c \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3) \end{align*}

نقوم بحل المعادلات للحصول على قيم $a$، $b$، و $c$.

نجمع المعادلات $(1)$ و $(2)$ و $(3)$ معا:

\begin{align*} 2a + 2b + 2c &= (b + c) + (a + c) + (a + b) \\ &= (12 – 3a) + (-14 – 3b) + (7 – 3c) \\ &= 12 – 3a – 14 – 3b + 7 – 3c \\ &= 12 – 14 + 7 – 3a – 3b – 3c \\ &= 5 – 3(a + b + c) \end{align*}

لدينا أيضاً:

\begin{align*} a + b + c &= \frac{1}{2}[(a + b) + (b + c) + (a + c)] \\ &= \frac{1}{2}[(7 – 3c) + (12 – 3a) + (-14 – 3b)] \\ &= \frac{1}{2}(5 – 3a – 3b – 3c) \end{align*}

لذا:

$2a + 2b + 2c = 5 – 3(a + b + c) = 5 – 3 \times \left(\frac{1}{2}(5 – 3a – 3b – 3c)\right)$
$= 5 – \frac{3}{2}(5 – 3a – 3b – 3c)$
$= 5 – \frac{15}{2} + \frac{9}{2}(a + b + c)$
$= -\frac{5}{2} + \frac{9}{2}(a + b + c)$

الآن نحتاج فقط إلى قيمة $(a + b + c)$ لحساب $2a + 2b + 2c$.

نحسب قيمة $(a + b + c)$ من المعادلة $(1)$:

\begin{align*} a + b + c &= \frac{1}{2}[(a + b) + (b + c) + (a + c)] \\ &= \frac{1}{2}[(7 – 3c) + (12 – 3a) + (-14 – 3b)] \\ &= \frac{1}{2}(5 – 3a – 3b – 3c) \end{align*}

وبالتالي:

2a + 2b + 2c = -\frac{5}{2} + \frac{9}{2} \times \left(\frac{1}{2}(5 – 3a – 3b – 3c)\right)

نحسب الآن $a + b + c$ من المعادلة $(1)$:

$a + b + c = \frac{1}{2}(5 – 3a – 3b – 3c)$
$5 – 3a – 3b – 3c = 2(a + b + c)$
$5 = 5(a + b + c)$
$a + b + c = 1$

إذاً، $2a + 2b + 2c = -\frac{5}{2} + \frac{9}{2} \times 1 = -\frac{5}{2} + \frac{9}{2} = 2$.

المزيد من المعلومات

SEAT Exeo: التفرد والأداء المتميز

تصميم ألعاب الأسئلة والأجوبة لتعزيز تعلم الأطفال