حل مسائل الجبر الخطي: طرح المتجهات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
لنعطي $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -7 \ X \ 1 \end{pmatrix}$ و $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \ 2 \ -1 \end{pmatrix}$. ابحث عن $\mathbf{a} – 3 \mathbf{b}$.
إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال أعلاه هي $\begin{pmatrix}-19 \ -6 \ 4 \end{pmatrix}$، ما هو قيمة المتغير المجهول X؟

حل المسألة:
نريد حساب $\mathbf{a} – 3 \mathbf{b}$.
الآن، لنقوم بتطبيق العملية الرياضية على كل عنصر في المتجهات:
لدينا:
$\mathbf{a} – 3 \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -7 \\ X \\ 1 \end{pmatrix} – 3 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$
الآن، قم بحساب كل عنصر في المتجهة الناتجة:
$\mathbf{a} – 3 \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -7 – 3 \times 4 \\ X – 3 \times 2 \\ 1 – 3 \times (-1) \end{pmatrix}$
$\mathbf{a} – 3 \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -7 – 12 \\ X – 6 \\ 1 + 3 \end{pmatrix}$
$\mathbf{a} – 3 \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -19 \\ X – 6 \\ 4 \end{pmatrix}$
مقارنة بالإجابة المعطاة، نلاحظ أن العنصر الأول هو $-19$، العنصر الثاني هو $-6$، والعنصر الثالث هو $4$. لذا، يجب أن يكون $X – 6 = -6$ ليتطابق مع الإجابة المعطاة.
بالتالي، نعوض $X = 0$.

إذاً، القيمة المجهولة $X = 0$.

لنقوم بحل المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام قوانين الجبر الخطي. في هذه المسألة، لدينا متجهتين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ ونريد أن نجد الناتج عن طرح $\mathbf{a}$ من ثلاث مرات $\mathbf{b}$ ومعرفة قيمة $X$ في $\mathbf{a}$.

لحل المسألة، نستخدم قوانين الجبر الخطي التالية:

1. ضرب عدد حقيقي في متجهة (ضرب متجهة في عدد طبيعي أو سالب): يتم ضرب كل عنصر في المتجهة بالعدد الحقيقي.

2. جمع وطرح المتجهات: يتم جمع أو طرح كل عنصر في المتجهة بالعنصر المقابل في المتجهة الأخرى.

بموجب هذه القوانين، لنقم بحساب $\mathbf{a} – 3 \mathbf{b}$:

$\mathbf{a} – 3 \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -7 \\ X \\ 1 \end{pmatrix} – 3 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

الآن، سنطبق العمليات الحسابية:

• عنصر الصف الأول: $-7 – 3 \times 4 = -7 – 12 = -19$
• عنصر الصف الثاني: $X – 3 \times 2 = X – 6$
• عنصر الصف الثالث: $1 – 3 \times (-1) = 1 + 3 = 4$

بالتالي، الناتج هو:

$\mathbf{a} – 3 \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -19 \\ X – 6 \\ 4 \end{pmatrix}$

بالمقارنة مع الإجابة المعطاة $\begin{pmatrix}-19 \ -6 \ 4\end{pmatrix}$، نجد أن القيمة المطلوبة ل $X$ هي $0$.

إذاً، قوانين الجبر الخطي ساعدتنا في تحليل وحساب الناتج المطلوب بشكل دقيق ومنطقي.