حل مسائل: التسلسل الحسابي والمتغيرات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
ما هو العنصر الخامس في تسلسل حسابي مكون من 20 عنصرًا، حيث أول عنصر يساوي 2 وآخر عنصر يساوي X؟
إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 14، فما هي قيمة المتغير المجهول X؟

الحل:
لنعبر عن تسلسل الأعداد الحسابي بمسافة الزيادة بين الأعداد بـ d. النموذج العام للعناصر في هذا التسلسل يكون كالتالي:
$a_1, a_2, a_3, …, a_{20}$

نعلم أن $a_1 = 2$ و $a_{20} = X$ و $a_5 = 14$.

العلاقة الأساسية في التسلسل الحسابي هي:
$a_n = a_1 + (n – 1) \cdot d$
حيث:

• $a_n$ هو العنصر الذي نريد حسابه.
• $a_1$ هو العنصر الأول.
• $d$ هو معدل التغيير (أو فارق التسلسل).
• $n$ هو موضع العنصر في التسلسل.

نريد حساب $d$ و $X$ بالترتيب. نعرف أن:
$a_5 = a_1 + (5 – 1) \cdot d = 2 + 4d = 14$

من هذه العلاقة، نحصل على:
$2 + 4d = 14$
$4d = 14 – 2$
$4d = 12$
$d = 3$

الآن، بعد أن عرفنا قيمة $d$، يمكننا حساب قيمة $X$ باستخدام عنصر النهاية:
$X = a_{20} = a_1 + (20 – 1) \cdot d = 2 + 19 \cdot 3 = 2 + 57 = 59$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 59.

لحل المسألة، نحتاج إلى فهم مفهوم التسلسل الحسابي والعلاقات بين عناصره، وكذلك استخدام القوانين الخاصة بالتسلسل الحسابي.

1. مفهوم التسلسل الحسابي:
   في التسلسل الحسابي، يتم تعريف كل عنصر باستخدام العنصر السابق مع فارق ثابت بين كل عنصرين متتاليين.

2. العلاقة العامة للعناصر في التسلسل الحسابي:
   يتم تعريف العنصر الثاني وما بعده بالعلاقة:
   $a_n = a_1 + (n – 1) \cdot d$
   حيث:

   • $a_n$ هو العنصر الذي نريد حسابه.
   • $a_1$ هو العنصر الأول.
   • $d$ هو معدل التغيير (أو فارق التسلسل).
   • $n$ هو موضع العنصر في التسلسل.

3. الحل الخطوة بالخطوة:

   • أولاً، نستخدم العلاقة العامة للعناصر في التسلسل الحسابي لحساب قيمة المعدل $d$، باستخدام معلومة أن $a_5 = 14$.
   • ثانياً، بعد حساب قيمة $d$، نستخدمها لحساب قيمة العنصر الأخير $X$ في التسلسل.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نقوم بحساب القيم المطلوبة بدقة.

الحل الخطوة بالخطوة يساعد في فهم الطريقة التي يتم من خلالها استخدام القوانين الرياضية وتطبيقها على المسألة المعطاة. يكمن الفهم العميق للقوانين والعلاقات في القدرة على حل مسائل مماثلة في المستقبل والاستفادة القصوى من الرياضيات في حياتنا اليومية والعملية.