حل مسائل الأعداد الصحيحة (مسألة رياضيات)

مطلوب منا حساب مجموع أكبر مقسم مشترك بين 30 و 81 وأقل مضاعف مشترك لعددي 36 و 12.

لنبدأ بحساب العمليات الحسابية:

1. العثور على أكبر مقسم مشترك (العامل المشترك الأكبر) بين 30 و 81:
   لحساب العامل المشترك الأكبر بين 30 و 81، يمكننا استخدام خوارزمية أقلّ التقسيم (Euclidean algorithm).

   بدايةً، نقوم بتقسيم 81 على 30:
   $81 = 30 \times 2 + 21$

   ثم نقوم بتقسيم 30 على 21:
   $30 = 21 \times 1 + 9$

   ثم نقوم بتقسيم 21 على 9:
   $21 = 9 \times 2 + 3$

   ثم نقوم بتقسيم 9 على 3:
   $9 = 3 \times 3 + 0$

   وبما أن الباقي صفر، فإن العامل المشترك الأكبر بين 30 و 81 هو 3.

2. العثور على أقل مضاعف مشترك لـ 36 و 12:
   يُمكننا حساب الأقل مضاعف المشترك لـ 36 و 12 بواسطة قانون الضرب الأصغر (LCM).

   $LCM(36, 12) = \frac{{36 \times 12}}{{GCD(36, 12)}}$

   حيث أن $GCD$ هو أكبر مقسم مشترك. لذا، نحتاج أولاً إلى حساب $GCD(36, 12)$:

   باستخدام خوارزمية أقلّ التقسيم (Euclidean algorithm) مرة أخرى، نجد أن:
   $GCD(36, 12) = 12$

   الآن، يمكننا استخدام هذه القيمة لحساب الأقل مضاعف المشترك:
   $LCM(36, 12) = \frac{{36 \times 12}}{{12}} = 36$

3. الآن، سنقوم بجمع النتائج:
   العامل المشترك الأكبر بين 30 و 81 هو 3.
   الأقل مضاعف المشترك لـ 36 و 12 هو 36.

   لذا، الجواب هو:
   $3 + 36 = 39$

   لذا، مجموع أكبر مقسم مشترك بين 30 و 81 وأقل مضاعف مشترك لعددي 36 و 12 هو 39.

لحل المسألة واستنتاج المجموع النهائي، دعونا نبدأ بفهم القوانين والخطوات التي نحتاج إليها:

1. أكبر مقسم مشترك (GCD):
   يُعرف أكبر مقسم مشترك بين عددين على أنه العدد الأكبر الذي يقسم كلا العددين بدون بقايا. يمكن حسابه باستخدام خوارزمية أقل التقسيم (Euclidean Algorithm).

2. أقل مضاعف مشترك (LCM):
   يُعرف أقل مضاعف مشترك بين عددين على أنه العدد الأصغر الذي يُقسم على كل من الأعداد المعطاة بدون بقايا. يمكن حسابه باستخدام الصيغة: $LCM(a, b) = \frac{{a \times b}}{{GCD(a, b)}}$.

مع هذه المفاهيم في الاعتبار، دعونا نقوم بحساب المسألة:

أولاً، نحسب GCD بين 30 و 81:
$GCD(30, 81)$

نستخدم خوارزمية أقل التقسيم للعثور على القيمة:

من هنا، نرى أن $GCD(30, 81) = 3$.

ثانيًا، نحسب LCM بين 36 و 12:
$LCM(36, 12) = \frac{{36 \times 12}}{{GCD(36, 12)}}$

مرة أخرى، نحتاج لحساب GCD:

من هنا، نرى أن $GCD(36, 12) = 12$.

الآن، نحسب $LCM(36, 12) = \frac{{36 \times 12}}{{12}} = 36$.

أخيرًا، نجمع النتائج:
$GCD(30, 81) + LCM(36, 12) = 3 + 36 = 39$

لذا، مجموع القيم هو 39.

باستخدام الخوارزميات الرياضية والقوانين المعروفة، تمكنا من حل المسألة والعثور على الإجابة بدقة.