حل مسألة Survivor: القوانين والاحتماليات (مسألة رياضيات)

مسابقة الواقع “سيرفايفر” تُقام بمشاركة 16 شخصًا يتم تقسيمهم إلى قبائلين بحيث يكون عدد الأعضاء في كل قبيلة هو X. في الحلقة الأولى، يتمتع شخصان برغبة قوية في العودة إلى منازلهم ويستقيلان. إذا كان لدى كل شخص فرصة متساوية لأن يكون أحد الشخصين اللذين يستقيلان، وكانت احتمالية استقالة أحد الأشخاص لا تتأثر بقرار أي شخص آخر، فإن احتمالية أن يكون الشخصان اللذان استقلا من نفس القبيلة هي 15%.

لحساب قيمة المتغير المجهول X، سنستخدم الاحتماليات. لنفترض أن الاحتمالية أن يكون أحد الشخصين من القبيلة الأولى هي P، والاحتمالية أن يكون أحد الشخصين من القبيلة الثانية هي أيضًا P.

إذا كانت احتمالية أن يكون الشخص الأول من القبيلة الأولى والشخص الثاني من القبيلة الأولى هي P * P، وهي تمثل الحالة حيث يستقيلون من نفس القبيلة. ونعلم أن هذه الاحتمالية تساوي 15% أو 0.15.

لذا:
$P * P = 0.15$

الآن نحن بحاجة إلى معرفة قيمة P، ومن ثم نستطيع حساب قيمة X.
$P * P = 0.15$

$P = \sqrt{0.15}$

$P \approx 0.387$

الآن نعلم أن P هي احتمالية أن يكون أحد الشخصين من أي قبيلة. لذا، عدد الأشخاص في كل قبيلة (X) هو ضعف هذه القيمة.
$X = 2 * P$

$X \approx 2 * 0.387$

$X \approx 0.774$

لكن لا يمكن أن يكون عدد الأشخاص في القبيلة عددًا كسريًا، لذا يجب تقريب القيمة. بناءً على ذلك، قيمة المتغير المجهول X تكون تقريبًا 1.

تفاصيل أكثر لحل المسألة:

لحساب احتمالية أن يكون الشخصان اللذان استقلا من نفس القبيلة، نستخدم القاعدة الأساسية لحساب الاحتماليات. نفترض أن احتمالية أن يكون أحد الشخصين من القبيلة الأولى هي $P$، واحتمالية أن يكون أحد الشخصين من القبيلة الثانية هي أيضًا $P$.

إذا كانت الاحتمالية أن يكون الشخص الأول من القبيلة الأولى والشخص الثاني من القبيلة الأولى هي $P * P$. ونعلم أن هذه القيمة تساوي 15% أو 0.15.

$P * P = 0.15$

الآن نقوم بحساب قيمة $P$ بجذر التربيع للقيمة المعطاة:

$P = \sqrt{0.15}$

$P \approx 0.387$

الآن، لحساب قيمة المتغير المجهول $X$، نستخدم العلاقة التي ربطت بين عدد الأشخاص في القبيلة واحتمالية استقالة أحدهم. نعلم أنه إذا كانت احتمالية أن يكون أحد الشخصين من أي قبيلة هي $P$، فإن عدد الأشخاص في القبيلة ($X$) يكون ضعف هذه القيمة:

$X = 2 \times P$

$X \approx 2 \times 0.387$

$X \approx 0.774$

ونظرًا لأن الأشخاص لا يمكن أن يكونوا بكسرين، فإننا نقرر تقريب القيمة لأقرب عدد صحيح، وبالتالي:

$X \approx 1$

قوانين المستخدمة في الحل:

1. قاعدة الضرب في حساب الاحتماليات: تمثلها العلاقة $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ حيث $A$ و$B$ هما حوادث مستقلة.

2. قاعدة جذر التربيع: لحساب الجذر التربيعي لقيمة معينة، مثل الاحتمالية في هذه المسألة.

3. العلاقة بين عدد الأشخاص في القبيلة واحتمالية استقالة أحدهم: $X = 2 \times P$، حيث $X$ هو عدد الأشخاص في القبيلة و$P$ هو احتمالية أن يكون أحد الشخصين من القبيلة.