حل مسألة A(2, 1) باستخدام دالة تكرارية (مسألة رياضيات)

الدالة $A(m, n)$ معرفة تعريفًا رياضيًا متكررًا يعتمد على قيم $m$ و $n$، حيث يتم تقديمها كالتالي:

$A(m,n) = \left\{ \begin{aligned} &n+1& \text{ إذا كان } m = 0 \\ &A(m-1, 1) & \text{ إذا كان } m > 0 \text{ و} n = 0 \\ &A(m-1, A(m, n-1))&\text{ إذا كان } m > 0 \text{ و} n > 0. \end{aligned} \right.$

لحساب قيمة $A(2, 1)$، نقوم بتطبيق القاعدة الثالثة في التعريف:

$A(2, 1) = A(1, A(2, 0)).$

ثم نستخدم القاعدة الثانية:

$A(2, 1) = A(1, A(1, 1)).$

ثم نستخدم القاعدة الثالثة مرة أخرى:

$A(2, 1) = A(1, A(0, A(1, 0))).$

وفي هذه النقطة، نستخدم القاعدة الأولى لأن $m = 0$:

$A(2, 1) = A(1, A(0, 2)).$

الآن نستخدم القاعدة الثانية:

$A(2, 1) = A(1, 3).$

ثم نستخدم القاعدة الثالثة:

$A(2, 1) = A(0, A(1, 2)).$

ومن ثم القاعدة الأولى:

$A(2, 1) = A(0, 3).$

وأخيرًا، نستخدم القاعدة الأولى للمرة الأخيرة:

$A(2, 1) = 4.$

إذاً، قيمة $A(2, 1)$ هي 4.

لحل مسألة حساب قيمة $A(2, 1)$ باستخدام التعريف المعطى للدالة $A(m, n)$، سنقوم بتطبيق القوانين التي وردت في التعريف. دعونا نتابع الخطوات بتفصيل أكثر:

1. استخدام القاعدة الثالثة:
   $A(2, 1) = A(1, A(2, 0)).$

2. استخدام القاعدة الثانية:
   $A(2, 1) = A(1, A(1, 1)).$

3. استخدام القاعدة الثالثة مرة أخرى:
   $A(2, 1) = A(1, A(0, A(1, 0))).$

4. استخدام القاعدة الأولى:
   $A(2, 1) = A(1, A(0, 2)).$

5. استخدام القاعدة الثانية:
   $A(2, 1) = A(1, 3).$

6. استخدام القاعدة الثالثة:
   $A(2, 1) = A(0, A(1, 2)).$

7. استخدام القاعدة الأولى:
   $A(2, 1) = A(0, 3).$

8. استخدام القاعدة الأولى للمرة الأخيرة:
   $A(2, 1) = 4.$

القوانين المستخدمة في الحل هي:

• القاعدة الأولى: إذا كان $m = 0$, فإن قيمة الدالة تكون $n+1$.
• القاعدة الثانية: إذا كان $m > 0$ و $n = 0$, فإن قيمة الدالة تكون $A(m-1, 1)$.
• القاعدة الثالثة: إذا كان $m > 0$ و $n > 0$, فإن قيمة الدالة تكون $A(m-1, A(m, n-1))$.

باستخدام هذه القوانين، قمنا بتحويل المسألة إلى سلسلة من الخطوات البسيطة والتي تتبع تعريف الدالة للحصول على القيمة النهائية $A(2, 1) = 4$.