حل مسألة وضع الكرات: مبدأ الضرب (مسألة رياضيات)

يتعين وضع 5 كرات مميزة في صناديقين مميزتين بكميات مختلفة، وعليه، يمكننا استخدام مبدأ الضرب لحساب عدد الطرق الممكنة.

لنحسب عدد الخيارات الممكنة لوضع الكرات في الصناديق:

1. الكرة الأولى: يمكن وضعها في الصندوق الأول أو الثاني، لذا هناك 2 اختيار.

2. الكرة الثانية: بما أن الكرات مميزة، فإنه بعد وضع الكرة الأولى، لدينا 4 كرات متبقية، وهكذا يمكن وضع الكرة الثانية في أي من الصناديق، وهناك 2 اختيار.

3. الكرة الثالثة: بعد وضع الكرتين الأولى، لدينا 3 كرات، وبالتالي هناك 2 اختيار.

4. الكرة الرابعة: بعد وضع الكرات الثلاث الأولى، لدينا 2 كرات، وبالتالي هناك 2 اختيار.

5. الكرة الخامسة: بعد وضع الكرات الأربع الأولى، لدينا كرة واحدة فقط، ويمكن وضعها في أي من الصناديق.

الآن، لحساب إجمالي عدد الطرق الممكنة، نقوم بضرب عدد الخيارات لكل كرة معًا:

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 1 = 2^4 = 16.$

إذاً، هناك 16 طريقة مختلفة لوضع 5 كرات مميزة في 2 صندوق مميز.

لحل هذه المسألة، نستخدم مبدأ الضرب، وهو أحد القوانين الرياضية التي تساعدنا في حساب عدد الطرق الممكنة لحدوث سلسلة من الأحداث المستقلة.

القوانين المستخدمة:

1. مبدأ الضرب:
   يقول مبدأ الضرب إنه إذا كان لدينا $m$ خيار للحدث الأول و$n$ خيار للحدث الثاني وهكذا، فإن إجمالي عدد الطرق الممكنة لحدوث الحدثين هو $m \times n$.

حل المسألة:

1. تحديد الخطوات:
   لنحدد الخطوات التي يجب اتخاذها لحل المسألة:

   • وضع الكرة الأولى في أحد الصناديق.
   • وضع الكرة الثانية في أحد الصناديق.
   • وضع الكرة الثالثة في أحد الصناديق.
   • وضع الكرة الرابعة في أحد الصناديق.
   • وضع الكرة الخامسة في أحد الصناديق.

2. استخدام مبدأ الضرب:

   • لكل خطوة، هناك 2 خيارات لوضع الكرة في إحدى الصناديق.
   • نحسب إجمالي الطرق الممكنة باستخدام مبدأ الضرب:
     $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 1 = 2^4 = 16.$

3. الإجابة:
   إذاً، هناك 16 طريقة مختلفة لوضع 5 كرات مميزة في 2 صندوق مميز.

التفاصيل:

• مرحلة البداية:
  لدينا 5 كرات مميزة.

• الخطوة الأولى:
  نختار إحدى الصناديق لوضع الكرة الأولى، لذا هناك 2 خيار.

• الخطوة الثانية:
  بعد وضع الكرة الأولى في أحد الصناديق، لدينا الآن 4 كرات، ونختار صندوقًا لوضع الكرة الثانية، لذا هناك 2 خيار.

• الخطوة الثالثة:
  بعد وضع الكرتين الأولى والثانية، لدينا 3 كرات، ونختار صندوقًا لوضع الكرة الثالثة، لذا هناك 2 خيار.

• الخطوة الرابعة:
  بعد وضع الكرات الثلاث الأولى، لدينا 2 كرات، ونختار صندوقًا لوضع الكرة الرابعة، لذا هناك 2 خيار.

• الخطوة الخامسة:
  بعد وضع الكرات الأربع الأولى، لدينا كرة واحدة فقط، ويمكن وضعها في أي من الصناديق، لذا هناك 2 خيار.

• الإجمال:
  نضرب عدد الخيارات لكل خطوة معًا: $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 1 = 2^4 = 16$.

الختام:

باستخدام مبدأ الضرب، نمكن من فهم وحساب الطرق المختلفة لحدوث سلسلة من الأحداث المستقلة.