حل مسألة هندسية: مساحات المثلثات والفوارق (مسألة رياضيات)

نعتبر النقطة $F$ نقطة اتصال الأقطار في المثلث $\triangle ABC$ وبما أن $\angle EAB$ و $\angle ABC$ هما زاويتان قائمتان، يكون المثلث $\triangle ABC$ متساوي الأضلاع لأن جميع الأضلاع متساوية بطول $AB=BC=CA.$ إذاً يمكننا قول أن $AF=BF=CF.$

الآن نركز على المثلث $\triangle ABE.$ لدينا زاوية قائمة في $E$ وجميع الأضلاع معروفة. يمكننا استخدام نصف قاعدة مستطيل $\overline{AB}$ والارتفاع $\overline{BE}$ لحساب مساحة هذا المثلث. مساحة المثلث $\triangle ABE$ تكون:

$\text{مساحة}(\triangle ABE) = \frac{1}{2} \times \text{قاعدة} \times \text{ارتفاع} = \frac{1}{2} \times AB \times BE$

وضعنا القيم المعروفة:

$\text{مساحة}(\triangle ABE) = \frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 16$

الآن نركز على المثلث $\triangle ADE.$ لدينا زاوية قائمة في $E$ والضلعين $\overline{AD}$ و $\overline{AE}$ معروفان. يمكننا استخدام نصف قاعدة المستطيل $\overline{AE}$ والارتفاع $\overline{AD}$ لحساب مساحة هذا المثلث. مساحة المثلث $\triangle ADE$ تكون:

$\text{مساحة}(\triangle ADE) = \frac{1}{2} \times \text{قاعدة} \times \text{ارتفاع} = \frac{1}{2} \times AE \times AD$

وضعنا القيم المعروفة:

$\text{مساحة}(\triangle ADE) = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$

الآن نتعامل مع المثلث $\triangle BDC.$ في هذا المثلث، لدينا زاوية قائمة في $D$ والضلعين $\overline{BD}$ و $\overline{BC}$ معروفان. يمكننا استخدام نصف قاعدة المستطيل $\overline{BC}$ والارتفاع $\overline{BD}$ لحساب مساحة هذا المثلث. مساحة المثلث $\triangle BDC$ تكون:

$\text{مساحة}(\triangle BDC) = \frac{1}{2} \times \text{قاعدة} \times \text{ارتفاع} = \frac{1}{2} \times BC \times BD$

وضعنا القيم المعروفة:

$\text{مساحة}(\triangle BDC) = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$

الفرق بين مساحتي المثلثين $\triangle ADE$ و $\triangle BDC$ يكون:

$\text{فارق المساحة} = \text{مساحة}(\triangle ADE) – \text{مساحة}(\triangle BDC) = 16 – 12 = 4$

إذاً، فارق المساحة بين المثلثين هو 4 وحدات مربعة.

نشرت لكم معلومات مفصلة حول حل المسألة، والآن سأقدم لكم توضيحًا إضافيًا حول القوانين المستخدمة في الحل.

1. قانون مساحة المثلث:

   • لحساب مساحة المثلث، يُستخدم القانون التالي:
     $\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{قاعدة} \times \text{ارتفاع}$
     حيث يتم ضرب نصف قاعدة المثلث في الارتفاع. في الحل، تم استخدام هذا القانون لحساب مساحة كل من المثلثين $\triangle ABE$ و $\triangle ADE$ و $\triangle BDC$.

2. مثلث متساوي الأضلاع:

   • في المثلث $\triangle ABC$، نستخدم حقيقة أنه إذا كانت الزوايا الثلاث قائمة وكانت جميع الأضلاع متساوية الطول، فإن المثلث يكون متساوي الأضلاع. في هذه الحالة، $AF=BF=CF$.

3. قانون الزوايا المتكافئة:

   • استخدمنا حقيقة أن إذا كانت $\angle EAB$ و $\angle ABC$ زاويتين قائمتين، فإن الزاوية الداخلية الأخرى في المثلث $\triangle ABE$ تكون أيضاً قائمة. وبالتالي، يمكننا استخدام قانون مساحة المثلث لحساب مساحة $\triangle ABE$.

4. تكامل المساحات:

   • لحساب الفارق بين مساحتين، استخدمنا فكرة تفاضل المساحات، أي خصم مساحة المثلث $\triangle BDC$ من مساحة المثلث $\triangle ADE$ للحصول على الفارق.

بهذه القوانين، يمكننا فهم الخطوات التي اتخذناها في الحل وكيف تم حساب الفارق بين مساحتي المثلثين.