حل مسألة هندسية: قطعة OS ودائرتين متماثلتين (مسألة رياضيات)

الدائرة ذات المركز $O$ لها نصف قطر يبلغ 8 وحدات، والدائرة $P$ لها نصف قطر $X$ وحدة. الدوائر ملامسة لبعضها البعض خارجيًا عند نقطة $Q$. القطعة $TS$ هي المماس المشترك الخارجي للدائرتين حيث تلامس الدائرة $O$ في النقطة $T$ والدائرة $P$ في النقطة $S$.

نحتاج إلى معرفة قيمة $X$ وطول القطعة $OS$. دعنا نبدأ بحساب $X$.

من نقطة التماس الخارجية $Q$، يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية مع قاعدة $OQ$ كالوتي:

يكون الضلع الأفقي للمثلث هو فارق أطوال نصف قطر الدائرة $O$ ونصف قطر الدائرة $P$، إذن طوله يساوي $8 – X$.

بما أن القطعة $TS$ مماس مشترك للدائرتين، فإنها تشكل مثلثًا قائم الزاوية مع القاعدة $OS$ كالوتي:

قيمة طول الضلع المجاور للزاوية القائمة، أي $OS$، تساوي فارق أطوال نصف قطر الدائرة $O$ ونصف قطر الدائرة $P$، أي $8 – X$.

الآن، حسب السؤال، يجب أن يكون طول $OS$ مساويًا لـ $2$ وحدة، إذن:

$8 – X = 2$

حل المعادلة:
$X = 8 – 2 = 6$

إذن، القيمة المجهولة $X$ تساوي $6$ وحدات.

لحل هذه المسألة، سنستخدم عدة مفاهيم هندسية وقوانين منها:

1. مثلث قائم الزاوية: يشير إلى مثلث يحتوي على زاوية قائمة، ونستخدم فيه خصائص المثلث القائم مثل نسبة الأضلاع وقانون الأضلاع المتشابهة.

2. مماس خارجي: يتشكل عندما تكون الخطوط المماسة إلى الدائرة خارجية إليها. في هذه الحالة، خط $TS$ هو مماس خارجي مشترك للدائرتين.

3. المثلثات المتشابهة: تعني أن المثلثين لديهما زوايا متساوية، مما يعني أن نسب الأضلاع المتقابلة متساوية.

الآن، لنبدأ في حل المسألة:

نعلم أن قطعة $OS$ هي فارق الأطوال بين نصف قطر الدائرة $O$ ونصف قطر الدائرة $P$.

القاعدة الأولى التي نستخدمها هي خصائص المثلث القائم. إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية، يمكننا استخدام نسبة الأضلاع لحساب طول الضلع المجاور للزاوية القائمة.

ثم، نستخدم فكرة المماس المشترك، حيث تكون قطعة الضلع $TS$ مشتركة بين الدائرتين.

نستنتج بأن طول القطعة $OS$ يساوي الفارق بين نصف قطر الدائرة $O$ ونصف قطر الدائرة $P$.

بعد حل المعادلة التي نتجت عن المعلومة في السؤال أن طول $OS$ يساوي $2$، نحصل على قيمة $X$ التي تمثل نصف قطر الدائرة $P$، وهي تساوي $6$ وحدات.

تمثل القوانين والمفاهيم الهندسية المذكورة أعلاه الأسس التي تم استخدامها في حل المسألة.