حل مسألة هندسية: قانون التناسب (مسألة رياضيات)

إذا كان طول ظل البيت الذي يملكه جاك هو X قدمًا في نفس الوقت الذي يلقي فيه شجرة طولها 21 قدمًا ظلًا بطول 24 قدمًا، فإن ارتفاع بيت جاك يمكن حسابه بواسطة نسبة الأطوال بين البيت والشجرة.

نسبة طول البيت إلى طول ظل البيت تكون مساوية لنسبة طول الشجرة إلى طول ظل الشجرة. لذلك، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$\frac{\text{طول البيت}}{\text{طول ظل البيت}} = \frac{\text{طول الشجرة}}{\text{طول ظل الشجرة}}$

وإذا كنا نعلم أن طول الشجرة هو 21 قدمًا وطول ظلها هو 24 قدمًا، يمكننا حساب طول البيت بالتالي:

$\frac{\text{طول البيت}}{X} = \frac{21}{24}$

لحل المعادلة والعثور على طول البيت، نقوم بضرب طول ظل البيت في الكسر:

$طول البيت = X \times \frac{21}{24}$

الآن، إذا كان الإجابة المعطاة هي 49 قدمًا، فإننا نضع المعادلة التالية:

$49 = X \times \frac{21}{24}$

لحل المعادلة والعثور على قيمة X، نقوم بضرب الكسر في 49 ونقسم الناتج على 21:

$X = \frac{49 \times 24}{21}$

الآن، يمكننا حساب القيمة بشكل دقيق:

$X = \frac{1176}{21}$

$X = 56$

إذا كانت الإجابة المطلوبة للقيمة المجهولة X هي 56.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم التناسب الهندسي بين الأطوال والأطوال الظلية. يعتمد هذا المفهوم على الفرضية التي تقول إن نسبة الطول إلى الطول الظلي هي ثابتة لجميع الأشكال المتشابهة.

لنعبر عن هذا الفهم بصورة رياضية، نستخدم القاعدة التناسبية كالتالي:

إذا كانت $a$ و $b$ هما الأطوال، وكانت $x$ و $y$ هما الأطوال الظلية لشكلين متشابهين، فإن التناسب بينهما يكون على النحو التالي:

$\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$

الآن، لنحل المسألة:

نعلم أن طول الشجرة ($a$) هو 21 قدمًا وطول ظلها ($x$) هو 24 قدمًا. نعلم أيضًا أننا نبحث عن طول البيت ($b$) وطول ظل البيت ($y$).

نستخدم القاعدة التناسبية:

$\frac{b}{y} = \frac{21}{24}$

الآن، نستخدم هذه المعلومات لحساب طول البيت ($b$) بالنسبة لطول ظل البيت ($y$):

$b = \frac{21 \times y}{24}$

ونعلم أن $b$ هو الإجابة التي نبحث عنها في المسألة، وهي طول البيت. ولكن المعلومة الإضافية التي تم تقديمها تشير إلى أن الإجابة المتوقعة هي 49 قدمًا.

إذا كانت الإجابة المتوقعة هي 49 قدمًا، نضع المعادلة التالية:

$49 = \frac{21 \times y}{24}$

لحل المعادلة، نقوم بضرب طول ظل البيت ($y$) في الكسر:

$y = \frac{49 \times 24}{21}$

القوانين المستخدمة في هذا الحل هي قاعدة التناسب الهندسي. يتمثل هذا المفهوم في أن نسبة الأبعاد بين أجزاء متشابهة من أشكال هندسية متشابهة هي ثابتة.