حل مسألة هندسية: شعاع دائرة بناءً على الزاوية والمحيط (مسألة رياضيات)

نعطى قطاع دائرة له محيط يبلغ 83 سم وزاوية مركزية تبلغ 225 درجة. نريد حساب طول شعاع هذه الدائرة.

للبداية، لنقم بحساب الطول المحيطي (محيط القطاع) للدائرة باستخدام العلاقة التالية:

$\text{المحيط} = 2 \pi r \times \frac{\text{زاوية مركزية}}{360}$

حيث $r$ هو الشعاع، و $\pi$ قيمة ثابتة تقريبية تُمثل نسبة محيط الدائرة إلى قطرها (تقريباً 3.14159).

نقوم بتعويض القيم المعطاة:

$83 = 2 \pi r \times \frac{225}{360}$

الآن، نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة $r$:

$r = \frac{83}{2 \pi} \times \frac{360}{225}$

الآن، سنقوم بحساب هذه القيمة:

$r \approx \frac{83}{2 \times 3.14159} \times \frac{360}{225}$

$r \approx \frac{83}{6.28318} \times \frac{360}{225}$

$r \approx 13.18 \times 1.6$

$r \approx 21.08$

لذا، يكون الشعاع حوالي 21.08 سم.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين هندسية تتعلق بالأقطار والزوايا المركزية في الدوائر. القوانين التي سنستخدمها هي:

1. علاقة القطر والشعاع:
   يعرف أن القطر يكون مضاعفًا للشعاع، أي $د = 2ر$.

2. علاقة الزاوية المركزية والقوس:
   العلاقة بين الزاوية المركزية (بالدرجات) والقوس المقابل لها هي: $\text{قوس} = \frac{\text{زاوية مركزية}}{360} \times \text{محيط الدائرة}$.

الخطوات:

1. حساب القوس:
   نستخدم العلاقة الثانية لحساب القوس المقابل للزاوية المركزية.

   $\text{قوس} = \frac{225}{360} \times 2 \pi r$

2. حساب الشعاع:
   نستخدم العلاقة الأولى (علاقة القطر والشعاع) للعثور على الشعاع.

   $د = 2ر$

3. حساب الشعاع بتوسيع العلاقة:
   بمعرفة القوس وعلاقة القطر والشعاع، يمكننا حساب الشعاع.

   $2r = \frac{225}{360} \times 2 \pi r$

   $r = \frac{83}{2 \pi} \times \frac{360}{225}$

   $r \approx \frac{83}{6.28318} \times \frac{360}{225}$

   $r \approx 21.08$

القوانين المستخدمة:

• علاقة القطر والشعاع (القاعدة الأولى):
  $د = 2ر$

• علاقة الزاوية المركزية والقوس (القاعدة الثانية):
  $\text{قوس} = \frac{\text{زاوية مركزية}}{360} \times \text{محيط الدائرة}$

هذه القوانين تستند إلى العلاقات الهندسية في الدوائر وتساعد في حل المسائل المتعلقة بالأبعاد الهندسية للدوائر.