حل مسألة: نسبة مساحة مثلث متساوي الأضلاع إلى محيطه (مسألة رياضيات)

النسبة بين قيمة المساحة، بوحدات مربعة، لمثلث متساوي الأضلاع ذو طول جانب X وقيمته العددية إلى محيطه، بوحدات الطول، تُعبّر عنها ككسر عادي في أبسط شكل له. إذا كانت الإجابة المعروفة لهذا السؤال تكون $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ، يمكننا حساب قيمة المتغير المجهول X.

للقيام بذلك، يتعين علينا أولاً فهم النسبة المعطاة. في المثلث المتساوي الأضلاع، يكون محيطه هو ثلاث مرات طول أحد أضلاعه. لذلك، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$\text{محيط المثلث} = 3X$

ثم نعلم أن المساحة العددية للمثلث المتساوي الأضلاع تُحسب باستخدام العلاقة:

$\text{مساحة المثلث} = \frac{\sqrt{3}}{4}X^2$

الآن، نقوم بوضع النسبة بين المساحة والمحيط كالتالي:

$\frac{\text{مساحة المثلث}}{\text{محيط المثلث}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}X^2}{3X}$

نقوم بتبسيط الكسر:

$\frac{\text{مساحة المثلث}}{\text{محيط المثلث}} = \frac{\sqrt{3}}{12}X$

الآن، وفقًا للسؤال، هذه النسبة تساوي $\frac{2\sqrt{3}}{3}$. لذلك:

$\frac{\sqrt{3}}{12}X = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

نقوم بحساب قيمة X:

$X = \frac{2\sqrt{3}}{3} \times \frac{12}{\sqrt{3}}$

نقوم بإلغاء جذر الثلاثة في البسط والمقام:

$X = 2 \times 2$

$X = 4$

إذا كانت الإجابة المعروفة للسؤال الأول هي $\frac{2\sqrt{3}}{3}$، فإن قيمة المتغير المجهول X تكون 4.

لحل هذه المسألة، سنتبع الخطوات التالية ونستخدم بعض القوانين الرياضية المهمة:

الخطوة 1: تحديد محيط المثلث

في المثلث المتساوي الأضلاع، يكون محيط المثلث هو مجموع أطوال أضلاعه، ونعلم أنه في هذا النوع من المثلث يكون كل طول يساوي الآخر. لذلك:

$\text{محيط المثلث} = 3X$

الخطوة 2: حساب مساحة المثلث

مساحة المثلث تُحسب باستخدام العلاقة:

$\text{مساحة المثلث} = \frac{\sqrt{3}}{4}X^2$

الخطوة 3: حساب النسبة

نقوم بوضع النسبة بين مساحة المثلث ومحيطه:

$\frac{\text{مساحة المثلث}}{\text{محيط المثلث}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}X^2}{3X}$

ونقوم بتبسيط الكسر:

$\frac{\text{مساحة المثلث}}{\text{محيط المثلث}} = \frac{\sqrt{3}}{12}X$

الخطوة 4: حساب قيمة المتغير X

وفقًا للنسبة المعطاة في السؤال $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ، نضع المعادلة التالية:

$\frac{\sqrt{3}}{12}X = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

نقوم بحساب قيمة X:

$X = \frac{2\sqrt{3}}{3} \times \frac{12}{\sqrt{3}}$

ونقوم بإلغاء جذر الثلاثة في البسط والمقام:

$X = 2 \times 2$

$X = 4$

القوانين المستخدمة:

1. محيط المثلث المتساوي الأضلاع:
   في المثلث المتساوي الأضلاع، يكون محيط المثلث هو ثلاث مرات طول أحد أضلاعه.

   $\text{محيط المثلث} = 3X$

2. مساحة المثلث:
   مساحة المثلث المتساوي الأضلاع تُحسب باستخدام العلاقة:

   $\text{مساحة المثلث} = \frac{\sqrt{3}}{4}X^2$

3. حساب النسبة:
   لحساب النسبة بين مساحة المثلث ومحيطه، نقوم بوضع النسبة بين المساحة والمحيط.

   $\frac{\text{مساحة المثلث}}{\text{محيط المثلث}} = \frac{\sqrt{3}}{12}X$

4. حساب المتغير المجهول X:
   نستخدم النسبة المعطاة في السؤال لحساب قيمة المتغير المجهول X.

   $\frac{\sqrt{3}}{12}X = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

   $X = 4$