حل مسألة: نسبة لوغاريتم مثلث باسكال (مسألة رياضيات)

لنعرّف دالة $f(n)$ كلوغاريتم قاعدة 10 لمجموع عناصر الصف الثالث الثلاثون في مثلث باسكال. لنعبّر عن $\frac{f(n)}{\log_{10} 2}$ بالنسبة لـ $n$.

في مثلث باسكال، يتم إنشاء كل صف بوضع الأعداد بحيث يكون كل عنصر يمثل جمع العنصرين السابقين في الصف الذي يحتوي عليه. على سبيل المثال، الصف الثالث في مثلث باسكال يكون: 1 2 1، حيث أن كل عنصر يمثل جمع العنصرين السابقين من الصف السابق.

لحساب $f(n)$، نحتاج أولاً إلى حساب مجموع العناصر في الصف $n$ من مثلث باسكال. يتبع الصف الثالث عشر في مثلث باسكال نمطًا معينًا، يمكن حسابه بمعرفة أن العناصر تتبع نمطًا منفصلًا. لكن يُمكن استخدام قاعدة الجمع لتسهيل العملية.

بما أننا نريد حساب اللوغاريتم القاعدة 10 لمجموع العناصر، فإننا نقوم بحساب اللوغاريتم القاعدة 10 لهذا المجموع. ثم يتبع حساب النسبة $\frac{f(n)}{\log_{10} 2}$، حيث نقوم بقسمة الناتج على لوغاريتم القاعدة 10 للعدد 2.

لحساب العناصر في الصف $n$، يمكننا استخدام الصيغة التالية:
$S(n) = 2^n$

حيث $S(n)$ هو مجموع العناصر في الصف $n$، و $n$ هو رقم الصف.

بما أننا نعرف $f(n)$ كلوغاريتم القاعدة 10 لمجموع العناصر في الصف $n$، فإننا نحسبها كالتالي:
$f(n) = \log_{10} (S(n))$

لكن يُراعى أن نحسب النسبة $\frac{f(n)}{\log_{10} 2}$ في نهاية المطاف. لذا، لدينا:
$\frac{f(n)}{\log_{10} 2} = \frac{\log_{10}(S(n))}{\log_{10} 2}$

والآن، لنستبدل $S(n)$ بقيمتها الصحيحة بمعرفة أن $S(n) = 2^n$:
$\frac{f(n)}{\log_{10} 2} = \frac{\log_{10}(2^n)}{\log_{10} 2}$

وباستخدام خاصية لوغاريتم القاعدة:
$\log_{b}(a^n) = n \cdot \log_{b}(a)$

نحصل على:
$\frac{f(n)}{\log_{10} 2} = \frac{n \cdot \log_{10}(2)}{\log_{10} 2}$

وبما أن $\log_{10} 2$ تظهر في البسط والمقام، فإنها تُبسط:
$\frac{f(n)}{\log_{10} 2} = n$

لذا، نتوصل إلى أن:
$\frac{f(n)}{\log_{10} 2} = n$

وهذا هو التعبير النهائي بالنسبة لـ $n$.

لحل المسألة المذكورة، بدأنا بتعريف دالة $f(n)$ كلوغاريتم قاعدة 10 لمجموع عناصر الصف الثالث الثلاثون في مثلث باسكال. ثم أُطلق علينا تعبير النسبة $\frac{f(n)}{\log_{10} 2}$ بالنسبة لـ $n$.

الخطوات التفصيلية لحل المسألة كانت كالتالي:

1. حساب مجموع العناصر في الصف $n$ من مثلث باسكال: استخدمنا الخواص الرياضية لمثلث باسكال لتحديد أن مجموع العناصر في الصف $n$ يساوي $2^n$. هذا يأتي من طريقة بناء مثلث باسكال حيث يتكون كل عنصر من جمع العناصر المتقابلة في الصف السابق.

2. حساب قيمة $f(n)$: بعد تحديد مجموع العناصر في الصف $n$، حسبنا اللوغاريتم القاعدة 10 لهذا المجموع، والذي يمثل $f(n)$.

3. تطبيق قاعدة لوغاريتم القاعدة: باستخدام قاعدة لوغاريتم القاعدة، قمنا بتبسيط التعبير $\frac{f(n)}{\log_{10} 2}$ ليصبح $n$.

4. التوضيح والتبسيط: في النهاية، قمنا بتوضيح أن التعبير $\frac{f(n)}{\log_{10} 2}$ يتبسط إلى $n$.

القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل تشمل:

• مثلث باسكال: فهو ترتيب من الأعداد يبدأ من 1 في الصف الأول، وكل عنصر في الصف يتكون من جمع العناصر المتقابلة في الصف السابق.

• خاصية لوغاريتم القاعدة: هذه الخاصية تتيح لنا تبسيط التعابير عند قسمة لوغاريتم عدد ما بلوغاريتم آخر من نفس القاعدة.

• الجمع والضرب للأعداد اللوغاريتمية: يمكننا استخدام قوانين اللوغاريتم لتبسيط العمليات الحسابية على الأعداد اللوغاريتمية.

• التعبير الرمزي للأعداد: استخدمنا تعبيرًا رمزيًا للمتغيرات والأعداد لتوضيح العلاقات الرياضية بينها.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، تمكنا من حساب النسبة المطلوبة بشكل دقيق وتفصيلي، وتقديم التفسير المناسب للحل.