حل مسألة ملء حوض السباحة (مسألة رياضيات)

يمكن ملء حوض السباحة باستخدام أي من ثلاثة أنابيب A و B أو C. تستغرق الأنابيب A و B معًا 4 ساعات لملء الحوض. تستغرق الأنابيب A و C معًا 5 ساعات لملء الحوض. تستغرق الأنابيب B و C معًا 6 ساعات لملء الحوض. كم من الوقت يستغرق الأنابيب A و B و C معًا لملء الحوض؟

لنقم بتعريف متغيرات لسرعة كل من الأنابيب A و B و C بالترتيب كـ $x$، $y$، و $z$ من أجل حساب كمية الماء التي تضاف إلى البركة في الوحدة الزمنية واحدة، وسنعتبر البركة واحدة في الحجم من أجل التبسيط.

للحل، سنقوم بوضع مجموعة من المعادلات استنادًا إلى المعلومات المعطاة:

1. معادلة لملء البركة باستخدام أنابيب A و B معًا:

2. معادلة لملء البركة باستخدام أنابيب A و C معًا:

3. معادلة لملء البركة باستخدام أنابيب B و C معًا:

لدينا الآن نظام من ثلاث معادلات خطية. سنقوم بحل هذا النظام للعثور على قيم $x$ و $y$ و $z$.

أولاً، سنقوم بحل النظام. هناك طرق عدة لحل النظام، يمكن استخدام أي منها، ولكن لنستخدم طريقة الاستبدال.

من المعادلة (1) يمكننا حساب $y$ بالنسبة لـ $x$:

ومن المعادلة (2) يمكننا حساب $z$ بالنسبة لـ $x$:

الآن، سنقوم بتعويض قيم $y$ و $z$ في المعادلة (3)، ومن ثم حل المعادلة للحصول على قيمة $x$.

بعد حل المعادلة، سنحصل على قيمة لـ $x$، ومن ثم يمكننا استخدامها لحساب قيم $y$ و $z$، وبالتالي نعرف كم تستغرق الأنابيب A و B و C معًا لملء البركة.

لحل مسألة ملء حوض السباحة باستخدام الأنابيب A و B و C معًا، نحتاج إلى القوانين التالية:

1. قانون التناسب المعكوس:
   هذا القانون ينص على أن معدل العمل المتماثل بالعكس مع الزمن. في هذه المسألة، نستخدم هذا القانون لتحديد معدلات ملء البركة بالنسبة لكل أنبوب.

2. معادلات العمل المشترك:
   نستخدم معادلات العمل المشترك لتحديد معدل ملء البركة عند استخدام أنابيب مختلفة معًا.

الآن، سنقوم بتفصيل الحل:

لنعرف $x$ كمعدل ملء البركة بالنسبة للأنبوب A، $y$ للأنبوب B، و$z$ للأنبوب C.

من البيانات المعطاة، لدينا معلومات حول معدلات ملء البركة باستخدام الأنابيب معًا:

1. $x + y = \frac{1}{4}$ (A و B معًا).
2. $x + z = \frac{1}{5}$ (A و C معًا).
3. $y + z = \frac{1}{6}$ (B و C معًا).

نحن بحاجة إلى حل هذا النظام من المعادلات الثلاث لتحديد قيم $x$ و $y$ و $z$.

نبدأ بحل المعادلات.

من المعادلة (1)، نعبر عن $y$ بالنسبة لـ $x$:
$y = \frac{1}{4} – x$

من المعادلة (2)، نعبر عن $z$ بالنسبة لـ $x$:
$z = \frac{1}{5} – x$

نستخدم هذه القيم في المعادلة (3):
$\left(\frac{1}{4} – x\right) + \left(\frac{1}{5} – x\right) = \frac{1}{6}$

حل هذه المعادلة سيسمح لنا بالعثور على قيمة $x$، ومن ثم يمكننا استخدام قيمة $x$ لحساب $y$ و $z$، وبالتالي معرفة كم من الوقت يستغرق الأنابيب A و B و C معًا لملء البركة.