حل مسألة: معدل التناسب الهندسي في سلسلة لانهائية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

ما هو معدل التناسب الهندسي لسلسلة هندسية لا نهائية إذا كان مجموع السلسلة يساوي 27 مرة مجموع السلسلة التي تم الحصول عليها بإزالة أول ثلاثة عناصر؟

الحل:
لنفترض أن المعدل الأول للسلسلة الهندسية الأصلية هو $a$، والمعدل الثاني هو $ar$ حيث $r$ هو معدل التناسب الهندسي. سنقوم بتطبيق القواعد الخاصة بسلسلة هندسية.

المجموع الكلي لسلسلة هندسية يُعبر عنه بالصيغة التالية:

$S = \frac{a}{1-r}$

لنقم بحساب مجموع السلسلة الأصلية ومجموع السلسلة المتبقية بعد إزالة الأولى الثلاثة عناصر. لنقم بتسمية مجموع السلسلة الأصلية بـ $S_1$ ومجموع السلسلة المتبقية بعد إزالة الثلاثة عناصر الأولى بـ $S_2$.

للسلسلة الأصلية:
$S_1 = \frac{a}{1-r}$

للسلسلة المتبقية بعد إزالة الأولى الثلاثة عناصر:
$S_2 = \frac{ar^3}{1-r}$

ووفقًا للمعطيات في المسألة، نعلم أن مجموع السلسلة الأصلية هو 27 مرة مجموع السلسلة المتبقية. يمكن كتابة المعادلة كالتالي:

$27S_2 = S_1$

وباستخدام العلاقات السابقة، نستطيع تعويض قيم $S_1$ و $S_2$:

$27 \left( \frac{ar^3}{1-r} \right) = \frac{a}{1-r}$

الآن، يمكن تبسيط المعادلة وحلها للعثور على قيمة $r$.

$27ar^3 = a(1-r)$

نقوم بإلغاء العوامل المشتركة $a$ من الجانبين:

$27r^3 = 1-r$

الآن نحاول ترتيب المعادلة لحلها:

$27r^3 + r – 1 = 0$

الآن نحاول أن نحل المعادلة الكوبية لإيجاد قيمة $r$. هذه المعادلة ليست سهلة الحل يدويًا وقد يتطلب الأمر استخدام تقنيات الحساب أو الحاسبة لحساب جذر التعبير المربعي الثلاثي.

بعد حساب قيمة $r$، سيكون بإمكاننا استخدامها لإيجاد المعدل الأول $a$، ثم يمكننا التأكد من صحة الحل والتأكد من عدم وجود قيم مطلوبة غير مقبولة، مثل القيم السالبة أو القيم الغير معقولة لحل المسألة.

لحل المسألة، سنستخدم القوانين والمفاهيم الأساسية في الهندسة الرياضية، بما في ذلك سلسلة الأعداد الهندسية ومجموعها.

1. سلسلة الأعداد الهندسية: في سلسلة هندسية، كل عنصر يتم اشتقاقه من العنصر السابق بضربه في عامل ثابت يسمى “معدل التناسب الهندسي”، ويمكن تمثيلها بالصيغة التالية: $a, ar, ar^2, ar^3, \ldots$ حيث $a$ هو العنصر الأول و $r$ هو معدل التناسب الهندسي.

2. مجموع السلسلة الهندسية: مجموع العناصر الأولى $n$ في سلسلة هندسية يمكن حسابه باستخدام الصيغة:
   $S_n = a \left( \frac{1 – r^n}{1 – r} \right)$
   حيث $S_n$ هو مجموع العناصر الأولى $n$، و $n$ هو عدد العناصر، و $a$ و $r$ هما المعلومات المعطاة لسلسلة الأعداد الهندسية.

3. المجموع المتسلسل للسلسلة الهندسية: يمكن أن نحسب المجموع الكلي للسلسلة الهندسية باستخدام الصيغة:
   $S = \frac{a}{1 – r}$
   حيث $S$ هو المجموع الكلي للسلسلة.

الآن، دعونا نستخدم هذه القوانين لحل المسألة:
نعلم من السؤال أن مجموع السلسلة الأصلية هو 27 مرة مجموع السلسلة بعد إزالة أول ثلاثة عناصر. هذا يعني أن:

$27S_2 = S_1$

حيث $S_1$ هو مجموع السلسلة الأصلية و $S_2$ هو مجموع السلسلة بعد إزالة الأول ثلاثة عناصر.

نحتاج أيضًا إلى معرفة أن مجموع السلسلة الأصلية هو:
$S_1 = \frac{a}{1 – r}$

ومجموع السلسلة بعد إزالة الأول ثلاثة عناصر هو:
$S_2 = \frac{ar^3}{1 – r}$

نستخدم هذه المعادلات لحل المسألة. يتطلب الحل مهارات في الجبر والتلاعب بالمعادلات الرياضية. بعد حل المعادلات، سيتم العثور على قيمة معدل التناسب الهندسي $r$، ومن ثم يمكن استخدامها لحساب المعدل الأول $a$.