حل مسألة: معادلة هايبربولا وإحداثيات مركزها (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
العثور على إحداثيات مركز الهايبربولا $\frac{(2y-2)^2}{5^2} – \frac{(3x-4)^2}{4^2} = X$ حيث أن الإجابة هي 1. ما قيمة المتغير المجهول X؟

حل المسألة:
الهايبربولا تتبع الشكل العام للمعادلة $\frac{(y-k)^2}{a^2} – \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$ حيث (h, k) هي إحداثيات مركز الهايبربولا.

لمطابقة المعادلة المعطاة مع الشكل العام، نحتاج إلى تعويض القيم المعروفة بالنسبة للهايبربولا في المعادلة العامة. بالتالي، يجب أن يكون مقام الترميزين للمتغير y موجبًا، ومقام الترميزين للمتغير x سالبًا.

نقارن المعادلة المعطاة بالشكل العام للهايبربولا:
$a^2 = 5^2 = 25$ و $b^2 = 4^2 = 16$

نلاحظ أن $a = 5$ و $b = 4$، وبالتالي معروف لدينا.

الآن، نحتاج إلى العثور على $h$ و $k$، أو بمعنى آخر، إيجاد قيم $h$ و $k$ التي تحقق المعادلة المعطاة.

مقارنة المعادلة المعطاة مع المعادلة العامة:
$2y – 2 = 2k \implies k = 1$
$3x – 4 = 2h \implies h = 2$

الآن لدينا القيم $h = 2$ و $k = 1$.

بالتالي، إحداثيات مركز الهايبربولا هي $(2, 1)$.

الآن، يتبقى لنا أن نجد قيمة المتغير المجهول $X$. ومن المعلوم أن قيمة $X$ هي 1 بالفعل وهي معطاة في المسألة.

بالتالي، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 1.

إذاً، قد وجدنا الإجابة المطلوبة وحللنا المسألة بالكامل.

لحل المسألة وإيجاد إحداثيات مركز الهايبربولا وقيمة المتغير المجهول $X$، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في دراسة الهايبربولا والجبر.

1. معادلة الهايبربولا العامة:
   معادلة الهايبربولا العامة تعطى بالصيغة:
   $\frac{(y – k)^2}{a^2} – \frac{(x – h)^2}{b^2} = 1$
   حيث $(h, k)$ هي إحداثيات مركز الهايبربولا، و$a$ و$b$ هما الأطوال الرئيسية للهايبربولا.

2. صيغة المعادلة المعطاة:
   المعادلة المعطاة للهايبربولا تعطى بالشكل التالي:
   $\frac{(2y – 2)^2}{5^2} – \frac{(3x – 4)^2}{4^2} = X$

3. المقامات والأطوال الرئيسية:
   في معادلة الهايبربولا، يكون المقام للترميزين $y$ موجبًا، بينما يكون المقام للترميزين $x$ سالبًا. والأطوال الرئيسية $a$ و$b$ تحت الجذرين في المعادلة العامة للهايبربولا.

4. إيجاد إحداثيات مركز الهايبربولا:
   من المعادلة المعطاة، نقارن المعادلة مع الشكل العام للهايبربولا. نلاحظ أنه يمكننا تمثيل المعادلة المعطاة في الشكل العام باستخدام التبديلات المناسبة للمتغيرات.

5. حساب قيمة المتغير المجهول $X$:
   بمجرد حساب إحداثيات مركز الهايبربولا، نقوم بتعويض القيم المعروفة في المعادلة المعطاة للهايبربولا للعثور على قيمة المتغير المجهول $X$.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، يمكننا حل المسألة والعثور على إحداثيات مركز الهايبربولا وقيمة المتغير المجهول $X$ بدقة. يجب علينا استخدام خطوات الحل بدقة للتأكد من الحصول على الإجابة الصحيحة وفهم المفاهيم الرياضية المستخدمة في هذا السياق.