حل مسألة: معادلة دائرة ونصف قطر 4 (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: ما هي قيمة $c$ المطلوبة لكي يكون لدائرة بمعادلة $x^2 + 6x + y^2 – 4y + c = 0$ نصف قطر يساوي 4؟

لحل هذه المسألة، سنقوم باتباع خطوات معينة:

1. نعرف أولاً معادلة دائرة عامة. في الحالة العامة، معادلة الدائرة هي $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$ حيث $(h, k)$ هي مركز الدائرة و $r$ هو نصف قطرها.

2. نقوم بإكمال مربعين لتجانب $x$ وتجانب $y$ في المعادلة المعطاة. ذلك يعني عمل الآتي:

   أولاً، نكمل المربع للعبارات التي تتضمن $x$:
   $x^2 + 6x = (x^2 + 6x + 9) – 9 = (x + 3)^2 – 9$

   ثانياً، نكمل المربع للعبارات التي تتضمن $y$:
   $y^2 – 4y = (y^2 – 4y + 4) – 4 = (y – 2)^2 – 4$

3. الآن، بعد إكمال المربع، يصبح لدينا المعادلة التالية:
   $(x + 3)^2 – 9 + (y – 2)^2 – 4 + c = 0$

4. نلاحظ أن الدائرة مركزها $(-3, 2)$ لذا $h = -3$ و $k = 2$، ونصف قطر الدائرة هو 4، لذا $r = 4$.

5. بمعرفة هذه المعلومات، نستخدمها في المعادلة لنجد قيمة $c$:
   $(-3 + 3)^2 – 9 + (2 – 2)^2 – 4 + c = 0$
   $0 – 9 + 0 – 4 + c = 0$
   $-13 + c = 0$
   $c = 13$

إذاً، القيمة المطلوبة ل $c$ حتى تكون للدائرة نصف قطر بطول 4 هي 13.

لحل المسألة وإيجاد قيمة $c$ المطلوبة حتى تكون للدائرة نصف قطر بطول 4، يمكننا اتباع الخطوات التالية مع استخدام القوانين الرياضية المناسبة:

1. معرفة معادلة الدائرة العامة:
   معادلة الدائرة العامة هي $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$ حيث $(h, k)$ هي مركز الدائرة و $r$ هو نصف قطرها.

2. تكملة المربعات للتخلص من متغيرات $x$ و $y$:
   يتم ذلك بإضافة وطرح نفس القيمة داخل كل مربع لتفادي تغيير المعادلة. فعلى سبيل المثال، إذا كان لدينا $x^2 + 6x$، يمكننا إضافة وطرح القيمة المناسبة داخل المربع لنحصل على تعبير يمكن تبسيطه.

3. استخدام خصائص المربعات الكاملة:
   تستخدم خواص المربعات الكاملة لتبسيط المعادلات. فعلى سبيل المثال، يمكننا كتابة $x^2 + 6x$ على أنها $(x + 3)^2 – 9$، حيث نقوم بإكمال المربع ونطرح القيمة المضافة.

4. تعيين قيم المعادلة والمتغيرات المعروفة:
   في هذه المسألة، نعرف أن نصف قطر الدائرة هو 4، والمركز هو $(-3, 2)$، وهذه المعلومات تساعدنا في حساب المعادلة.

5. استخدام المعلومات لحل المعادلة:
   بعد تعيين المعادلة والمتغيرات المعروفة، نستخدم هذه المعلومات لحل المعادلة والعثور على القيمة المطلوبة.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين الرياضية المذكورة، نستطيع حل المسألة والوصول إلى الإجابة المطلوبة بدقة وفعالية.