حل مسألة: معادلة خط وميل الخط (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تتعلق بخط يمر عبر النقاط $(-1, 6)$، $(6, k)$، و $(20, 3)$. نحتاج إلى معرفة قيمة $k$.

للحل، نستخدم معادلة ميل الخط (slope-intercept equation)، والتي تكون عادة متمثلة في الصيغة التالية:

$\text{ميل الخط} = \frac{{\text{الارتفاع في الصعود}}}{{\text{الارتفاع في الانحدار}}}$

ويمكن حساب الميل من خلال النقطتين $(-1, 6)$ و $(6, k)$ بواسطة العلاقة التالية:

$\text{ميل الخط} = \frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}}$

حيث $(-1, 6)$ تمثل $(x_1, y_1)$ و $(6, k)$ تمثل $(x_2, y_2)$.

بعد ذلك، يمكننا استخدام أحد النقاط المعطاة ومعادلة الميل لحساب $k$. في هذه الحالة، سنستخدم النقطة $(6, k)$ والميل الذي تم حسابه.

لنحسب الميل:

$\text{ميل الخط} = \frac{{k – 6}}{{6 – (-1)}}$

الآن، نحسب الميل من خلال النقطتين المعطاة:

$\text{ميل الخط} = \frac{{k – 6}}{{6 + 1}}$
$\text{ميل الخط} = \frac{{k – 6}}{{7}}$

الآن نقارن الميلين المعروفين:

$\frac{{k – 6}}{{7}} = \frac{{3 – 6}}{{20 – 6}}$

$\frac{{k – 6}}{{7}} = \frac{{-3}}{{14}}$

للتخلص من المقام في المعادلة، نقوم بضرب الطرفين في 7:

$k – 6 = -\frac{{3 \times 7}}{{14}}$
$k – 6 = -\frac{{3}}{{2}}$

ثم نقوم بإضافة 6 للجانبين:

$k = -\frac{{3}}{{2}} + 6$
$k = -\frac{{3}}{{2}} + \frac{{12}}{{2}}$
$k = \frac{{9}}{{2}}$

لذا، قيمة $k$ هي $\frac{9}{2}$ أو $4.5$.

لحل المسألة، سنستخدم مفهوم ميل الخط ونقاطه، والذي يعتمد على مفهوم الرياضيات الأساسي للخطوط والميل.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. مفهوم ميل الخط (Slope): ميل الخط هو النسبة بين الارتفاع الرأسي والارتفاع الأفقي بين نقطتين على الخط. يمثل الميل بشكل عام بالصيغة التالية:
   $\text{ميل الخط} = \frac{{\text{الارتفاع الرأسي}}}{{\text{الارتفاع الأفقي}}}$

2. معادلة ميل الخط (Slope formula): يتم استخدام معادلة الميل لحساب الميل بين نقطتين على الخط. تتمثل معادلة الميل بالصيغة التالية:
   $\text{ميل الخط} = \frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}}$

3. معادلة خط (Linear equation): عندما يتم تحديد الميل ونقطة على الخط، يمكن استخدام معادلة الخط لتمثيل الخط بشكل رياضي. يمكن استخدام أي من النقاط المعطاة مع الميل لإيجاد معادلة الخط.

الآن، نعود إلى المسألة:
النقاط المعطاة هي: $(-1, 6)$، $(6, k)$، و $(20, 3)$.

نحسب الميل بين النقطتين $(-1, 6)$ و $(6, k)$ باستخدام معادلة الميل:
$\text{ميل الخط} = \frac{{k – 6}}{{6 – (-1)}}$

ثم نستخدم المعادلة المذكورة للمقارنة بين الميل المحسوب والميل بين $(20, 3)$ و $(6, k)$.

المقارنة تؤدي إلى معادلة:
$\frac{{k – 6}}{{7}} = \frac{{3 – 6}}{{20 – 6}}$

ومن خلال الحسابات، نحصل على $k = \frac{9}{2}$.

بهذا، تم حل المسألة باستخدام قوانين الرياضيات المذكورة أعلاه.