حل مسألة: معادلة الخط والنقطة (مسألة رياضيات)

نريد إيجاد القيمة لـ $t$ بحيث يكون النقطة $(t, 5)$ على الخط الذي يمر عبر النقطتين $(0, 3)$ و $(-8, 0)$.

المعادلة العامة لمعادلة الخط في الفضاء الثنائي هي $y = mx + c$ حيث $m$ هو معامل الانحدار و $c$ هو قيمة الانقطاع مع محور $y$.

لحساب $m$، نستخدم الصيغة:

$m = \frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}}$

حيث $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هما نقطتان على الخط. في حالتنا، يكون لدينا:

$(x_1, y_1) = (0, 3)$ و $(x_2, y_2) = (-8, 0)$

وبالتالي:

$m = \frac{{0 – 3}}{{-8 – 0}} = \frac{{-3}}{{-8}} = \frac{3}{8}$

الآن بعد أن وجدنا قيمة $m$، يمكننا استخدام أحد النقاط لحساب قيمة $c$. سنستخدم $(0, 3)$:

$3 = \frac{3}{8} \times 0 + c$
$3 = c$

وبالتالي، المعادلة للخط هي:

$y = \frac{3}{8}x + 3$

الآن، نحتاج إلى حل المعادلة للعثور على قيمة $t$ التي تجعل النقطة $(t, 5)$ على الخط:

$5 = \frac{3}{8}t + 3$

نطرح 3 من الطرفين:

$5 – 3 = \frac{3}{8}t$
$2 = \frac{3}{8}t$

ثم نضرب الطرفين في 8/3:

$t = 2 \times \frac{8}{3}$
$t = \frac{16}{3}$

إذاً، القيمة التي تجعل النقطة $(t, 5)$ على الخط هي $t = \frac{16}{3}$.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام مفهوم الميل والنقطة على الخط واستخدام الخط المستقيم.

1. الميل (Slope): الميل هو تغيّر القيمة في المحور الصادي (محور $y$) مقابل تغيّر القيمة في المحور المستقل (محور $x$). يُمثل الميل النسبة بين التغيّر في القيمة على المحور $y$ إلى التغيّر في القيمة على المحور $x$. يُعبر عنه بالصيغة:

$m = \frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}}$

2. معادلة الخط العامة: معادلة الخط العامة تُمثّل العلاقة بين $x$ و $y$ على الخط. لخط يمر عبر نقطتين معروفتين، يمكن استخدام المعادلة التالية:

$y = mx + c$

حيث $m$ هو الميل و $c$ هو ارتفاع الخط عند نقطة الانقطاع مع محور $y$.

3. حل المعادلات: يتم حل المعادلات للعثور على القيم المجهولة. يُمكن استخدام العمليات الجبرية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة للتعبير عن العلاقات بين المتغيرات.

الآن، نقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

1. نستخدم الميل لحساب الميل $m$ من خلال النقطتين المعطاة.
2. ثم نستخدم أحد النقاط لحساب قيمة الانقطاع $c$ على الخط.
3. بعد ذلك، نستخدم المعادلة لوضع قيمة $x$ و $y$ في النقطة الثالثة ونحسب القيمة المجهولة $t$.

هذه الخطوات تمثل العملية الكاملة لحل المسألة وتوجيهاتها، مما يتيح لنا العثور على القيمة المطلوبة $t$ التي تجعل النقطة $(t, 5)$ تقع على الخط المعطى.