حل مسألة: معادلات ومصفوفات - قوانين الجبر. (مسألة رياضيات)

إذا كان للمصفوفة $\mathbf{A}$ عكس، و $(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})(\mathbf{A} – X \mathbf{I}) = \mathbf{0}$، فإننا نريد إيجاد قيمة المتغير المجهول $X$.

لنقم بفك ضرب المصفوفات $(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})(\mathbf{A} – X \mathbf{I})$:

(\mathbf{A} – 2 \mathbf{I})(\mathbf{A} – X \mathbf{I}) = \mathbf{A}^2 – (2+X)\mathbf{A} + 2X\mathbf{I}

ووفقًا للشرط المعطى في المسألة، نعلم أن هذا المحصلة يساوي المصفوفة الصفرية $\mathbf{0}$، أي:

\mathbf{A}^2 – (2+X)\mathbf{A} + 2X\mathbf{I} = \mathbf{0}

الآن، بمراعاة أن $\mathbf{A}$ لها عكس، يمكننا ضرب العملية بالعكس من $\mathbf{A}$ من اليمين للحصول على:

\mathbf{A}(\mathbf{A} – (2+X)\mathbf{I}) = -2X\mathbf{I}

وهنا يمكننا استخدام عكس $\mathbf{A}$:

(\mathbf{A} – (2+X)\mathbf{I}) = -2\mathbf{A}^{-1}X

أو

\mathbf{A} – (2+X)\mathbf{I} = -2\mathbf{A}^{-1}X

الآن، بما أن المصفوفة $\mathbf{A}$ لها عكس، يمكننا ضرب العملية بعكس $(-2\mathbf{A}^{-1}X)$ من اليسار:

\mathbf{A} – (2+X)\mathbf{I} + 2\mathbf{A}^{-1}X = \mathbf{0}

أو

\mathbf{A} + 2\mathbf{A}^{-1}X – (2+X)\mathbf{I} = \mathbf{0}

وبما أن المصفوفة $\mathbf{A}$ لها عكس، يمكننا ضرب العملية بعكس $\mathbf{A}$ من اليمين:

\mathbf{A} + 2\mathbf{A}^{-1}X – (2+X)\mathbf{I})\mathbf{A} = \mathbf{0}

\mathbf{A}^2 + 2X\mathbf{A} – (2+X)\mathbf{A} = \mathbf{0}

ونعرف أن $\mathbf{A}^2 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{A}$ (لأن $\mathbf{A}$ لها عكس).

إذاً:

\mathbf{A} + 2X\mathbf{A} – 2\mathbf{A} – X\mathbf{A} = \mathbf{0}

(2X – 2 – X)\mathbf{A} = \mathbf{0}

(X – 2)\mathbf{A} = \mathbf{0}

بما أن المصفوفة $\mathbf{A}$ لها عكس، فإنها ليست مصفوفة صفرية، لذا يجب أن يكون $(X – 2) = 0$ ليكون المحصلة صفرية، وبالتالي:

X – 2 = 0

X = 2

لقد وجدنا قيمة المتغير المجهول $X$، وهي تساوي 2.

حل مسألة: معادلات ومصفوفات – قوانين الجبر. (مسألة رياضيات)

المزيد من المعلومات

المزيد من المعلومات

تأثيرات الألوان الدافئة: جمالية ونفسية وثقافية

إستر السكريات الدهني: تحليل كامل