حل مسألة: معادلات خطية ونقاط في الإحداثيات (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة $(a – b)$ من خلال المعادلة $y = ax + b$ التي تمر عبر نقطتين معروفتين: $(4,5)$ و $(8,17)$.

لنبدأ بتحديد قيمة $a$ و $b$ باستخدام النقطتين المعطاة. نستخدم النقطة الأولى $(4,5)$:

$5 = a(4) + b$

والنقطة الثانية $(8,17)$:

$17 = a(8) + b$

الآن، لدينا نظامين من المعادلات:

$1) \: 5 = 4a + b$
$2) \: 17 = 8a + b$

لحل هذا النظام من المعادلات، يمكننا استخدام أسلوب الاستبدال أو الإحلال. لنستخدم أسلوب الاستبدال:

من المعادلة $(1)$ نعرف أن $b = 5 – 4a$، سنقوم بتعويض قيمة $b$ في المعادلة $(2)$:

$17 = 8a + (5 – 4a)$

الآن نقوم بحساب قيمة $a$:

$17 = 8a + 5 – 4a$
$17 = 8a – 4a + 5$
$17 = 4a + 5$
$12 = 4a$
$a = 3$

الآن بعد أن حصلنا على قيمة $a$، يمكننا استخدامها لحساب قيمة $b$ من المعادلة $(1)$:

$5 = 4(3) + b$
$5 = 12 + b$
$b = 5 – 12$
$b = -7$

الآن، نحسب قيمة $(a – b)$:

$(a – b) = (3) – (-7)$
$(a – b) = 3 + 7$
$(a – b) = 10$

إذاً، قيمة $(a – b)$ هي $10$.

لحل المسألة المعطاة، استخدمنا قوانين الجبر والنقاط على المستوى الكارتيزي. هذه القوانين تتضمن:

1. معادلة الخط العامة (صيغة الميل-التقاطع):
   معادلة الخط العامة هي $y = ax + b$، حيث $a$ هو الميل و $b$ هو التقاطع مع محور الأنطلاق ($y$). هذه المعادلة تمثل خطاً مستقيماً في المستوى الكارتيزي.

2. معادلة خط عند مروره بنقطتين:
   لحساب معادلة الخط عند مروره بنقطتين، يمكننا استخدام أحد أساليب حل المعادلات مثل استخدام نظام المعادلات الخطية.

3. نظام المعادلات الخطية:
   يتمثل في حل مجموعة من المعادلات التي تحتوي على متغيرات خطية، ويتم ذلك عادةً باستخدام طرق مثل الاستبدال أو الإحلال.

4. استبدال القيم في المعادلات:
   يمكن استبدال قيم المتغيرات في المعادلات الأخرى لحل النظام.

الآن، دعنا نحل المسألة:

نريد أولاً إيجاد قيمة الميل $a$ والتقاطع $b$ باستخدام النقطتين المعطاة $(4,5)$ و $(8,17)$.

نستخدم المعادلة العامة للخط $y = ax + b$ لتكوين نظام المعادلات الخطية:

من النقطة $(4,5)$:
$5 = 4a + b$

من النقطة $(8,17)$:
$17 = 8a + b$

يمكن حل هذا النظام للعثور على قيم $a$ و $b$.

بعد حساب قيم $a$ و $b$، نستخدمهما لحساب $(a – b)$.

الحل:

1. استخدمنا الاستبدال لحل النظام.
2. حساب قيمة $a$ من المعادلة الأولى.
3. استخدمنا قيمة $a$ لحساب $b$ من المعادلة الثانية.
4. حساب $(a – b)$.

باختصار، استخدمنا الجبر والحسابات الأساسية لحل المسألة، بما في ذلك استخدام المعادلات الخطية وتطبيق القوانين الأساسية للجبر.