حل مسألة مضختي المياه (مسألة رياضيات)

تفضل، إليك إعادة صياغة المسألة:

في حوض فارغ، تحتاج مضخة صغيرة 3 ساعات لملء الحوض بالماء، بينما تحتاج مضخة أكبر 3/4 ساعة لملء نفس الحوض. إذا بدأت الاثنتان في الضخ في نفس الوقت، كم ستستغرق الحمولتان، وبأسعارهما الثابتة الخاصة، لملء الحوض الفارغ؟

الحل:

لنجد نسبة العمل بين المضختين، نستخدم معادلة العمل:

$\text{العمل} = \text{المعدل} \times \text{الزمن}$

لنحسب العمل الذي يقوم به كل مضخة:

للمضخة الصغيرة: $\text{العمل} = 1$ (لأنها تملأ الحوض خلال 3 ساعات).

للمضخة الأكبر: $\text{العمل} = 1$ (لأنها تملأ الحوض خلال $\frac{3}{4}$ ساعة، وبالتالي فإن المعدل يكون $\frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$ مرة السرعة العادية).

الآن نجمع العملين:

$\text{العمل الإجمالي} = 1 + 1 = 2$

الزمن الذي يحتاجانه معًا لملء الحوض:

$\text{الزمن الكلي} = \frac{\text{العمل الإجمالي}}{\text{معدل العمل الإجمالي}}$

$\text{الزمن الكلي} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{2}$ ساعة.

إذاً، يحتاجون معًا إلى ساعة ونصف لملء الحوض عند البداية في الضخ.

بالطبع، دعونا نستكشف المسألة بتفصيل أكبر ونُورِد القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل.

المسألة:

لدينا حوض يمكن ملؤه بالماء، ونملك مضختين: مضخة صغيرة ومضخة أكبر. المضخة الصغيرة تستغرق 3 ساعات لملء الحوض، بينما تحتاج المضخة الأكبر 3/4 ساعة.

القوانين المستخدمة:

1. قانون العمل والزمن:

$\text{العمل} = \text{المعدل} \times \text{الزمن}$

2. قانون العمل المتبادل:

إذا كانت الأشخاص أو الأشياء يعملون معًا، يمكن جمع المعدلات:

$\text{المعدل الإجمالي} = \text{معدل الشخص أو الشيء الأول} + \text{معدل الشخص أو الشيء الثاني} + \ldots$

الحل:

1. حساب معدل المضخة الأكبر:
   المضخة الأكبر تملأ الحوض في $\frac{3}{4}$ ساعة، لذا معدلها يكون:
   $\text{معدل المضخة الأكبر} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$ من وحدة المعدل العادية.

2. حساب العمل الإجمالي:
   نستخدم قانون العمل والزمن لحساب العمل الذي تقوم به كل مضخة:

   • للمضخة الصغيرة: $\text{العمل} = 1$ (لأنها تستغرق 3 ساعات لملء الحوض).
   • للمضخة الأكبر: $\text{العمل} = \frac{4}{3}$ (بالاستناد إلى المعدل الذي حسبناه).

   العمل الإجمالي يكون: $\text{العمل الإجمالي} = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$.

3. حساب الزمن الكلي:
   نستخدم قانون العمل والزمن مرة أخرى لحساب الزمن الكلي:
   $\text{الزمن الكلي} = \frac{\text{العمل الإجمالي}}{\text{معدل العمل الإجمالي}}$

   الزمن الكلي يكون:
   $\text{الزمن الكلي} = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{7}{4}$ ساعة.

الاستنتاج:

لذلك، إذا بدأت المضختان في الضخ في نفس الوقت، سيحتاجون معًا إلى $\frac{7}{4}$ ساعة لملء الحوض.