حل مسألة: مسافة بين نقطتين في الفضاء الإقليدي (مسألة رياضيات)

نقوم بإعادة صياغة المسألة الرياضية:

لنفترض أن $A$ هي النقطة المحورية للمعادلة $y=x^2 – 2x + X$. ولنفترض أن $B$ هي النقطة المحورية للمعادلة $y=x^2 + 4x + 10$. ما هو المسافة بين النقطتين $A$ و $B$؟ إذا كنا نعرف أن الإجابة على السؤال السابق هي 5، ما هو قيمة المتغير المجهول $X$؟

لحل المسألة، نحتاج أولاً إلى حساب مواقع نقاط الذروة $A$ و $B$، ومن ثم حساب المسافة بينهما.

نقوم بحساب موقع النقطة المحورية $A$ باستخدام الصيغة التالية:

الموقع الأفقي لنقطة الذروة $A$ يُعطى بالصيغة:
$x_A = -\frac{b}{2a}$
حيث أن $a$ و $b$ هما معاملات المتغير $x$ في المعادلة الرباعية $y=ax^2 + bx + c$.

وبمعرفة قيمة $x_A$، يمكننا حساب قيمة $y_A$ باستخدام المعادلة الرباعية.

بناءً على ذلك، نستخدم الصيغة لحساب موقع $A$ باستخدام المعادلة $y=x^2 – 2x + X$:
$x_A = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$
ومن ثم:
$y_A = (1)^2 – 2(1) + X = 1 – 2 + X = X – 1$

الآن، نحسب موقع النقطة المحورية $B$ بنفس الطريقة:

$x_B = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$
ومن ثم:
$y_B = (-2)^2 + 4(-2) + 10 = 4 – 8 + 10 = 6$

الآن، بعد أن حصلنا على مواقع كل من $A$ و $B$، يمكننا حساب المسافة بينهما باستخدام معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء الإقليدي:

$d = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$

بوضع القيم المحسوبة:
$d = \sqrt{(-2 – 1)^2 + (6 – (X – 1))^2}$
$d = \sqrt{(-3)^2 + (7 – X)^2}$
$d = \sqrt{9 + (7 – X)^2}$

ومن المعلوم أن المسافة بين $A$ و $B$ تساوي 5، إذاً:
$5 = \sqrt{9 + (7 – X)^2}$

الآن، نقوم بحل المعادلة التربيعية السابقة للعثور على قيمة $X$. لحل المعادلة، نقوم برفع الجهة اليمنى إلى الأس 2 ونقوم بطرح 9 من الجهة اليسرى:

$5^2 = 9 + (7 – X)^2$
$25 = 9 + (7 – X)^2$
$16 = (7 – X)^2$

ثم نقوم بأخذ الجذر التربيعي للجهة اليمنى ونقوم بحل المعادلة:
$4 = 7 – X$
$X = 7 – 4$
$X = 3$

إذاً، القيمة المجهولة $X$ تساوي 3.

لحل المسألة المذكورة، سنستخدم مجموعة من الخطوات الرياضية والقوانين المتعلقة بالجبر والهندسة الفراغية. سنقوم بشرح الخطوات بتفصيل أكبر وذكر القوانين المستخدمة.

1. حساب موقع نقطة الذروة:
   نستخدم الصيغة التالية لحساب موقع نقطة الذروة في المعادلة الرباعية:
   $x_v = -\frac{b}{2a}$
   حيث أن $a$ و $b$ هما معاملات المتغير $x$ في المعادلة الرباعية $y=ax^2 + bx + c$.

2. معرفة القيمة الرأسية لنقطة الذروة:
   بعد حساب قيمة $x_v$، يمكننا استخدامها لحساب قيمة $y_v$ بواسطة المعادلة الرباعية.

3. حساب المسافة بين نقطتين في الفضاء الإقليدي:
   نستخدم معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء الإقليدي:
   $d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

4. حل المعادلات التربيعية:
   نستخدم خوارزمية حل المعادلات التربيعية لحساب القيم المجهولة.

الآن، سنقوم بتفسير الخطوات التي تمثل الحل:

1. حساب مواقع نقاط الذروة $A$ و $B$:
   استخدمنا الصيغة لحساب مواقع نقاط الذروة باستخدام قيم معاملات المعادلات الرباعية.

2. حساب المسافة بين $A$ و $B$:
   استخدمنا معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء الإقليدي لحساب المسافة بين نقطتي الذروة $A$ و $B$.

3. حل المعادلة التربيعية لحساب القيمة المجهولة $X$:
   بعد وضع المسافة المعروفة بين $A$ و $B$، قمنا بحل المعادلة التربيعية للعثور على القيمة المجهولة $X$.

بهذه الطريقة، قمنا بحل المسألة باستخدام مجموعة من القوانين والخطوات الرياضية المنطقية.