حل مسألة: مساحة وحجم المكعب (مسألة رياضيات)

سطح مكعب يبلغ مساحته X سنتيمتر مربع. ما حجم المكعب بوحدة السنتيمتر المكعب إذا كان يساوي 216؟

حل المسألة:
لنبدأ بحساب طول ضلع المكعب. نعلم أن السطح الكلي للمكعب يتكون من ستة مساحات مربعة، حيث كل وجه من وجوه المكعب له نفس المساحة. لذا، مساحة الوجه الواحد تساوي $\frac{X}{6}$ سم مربع.

ومن المعروف أن مساحة واحدة لمربع تساوي طول ضلعه مربعًا، لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$(\text{طول الضلع})^2 = \frac{X}{6}$

لحل المعادلة وإيجاد طول الضلع، نأخذ الجذر التربيعي لكل جانب:

$\text{طول الضلع} = \sqrt{\frac{X}{6}}$

الآن، بما أن حجم المكعب يساوي 216 سم مكعب، وحجم المكعب يُحسب بالضرب التركيبي لطول الضلع، فإننا نكتب المعادلة التالية:

$(\text{طول الضلع})^3 = 216$

نستخدم قيمة طول الضلع التي حصلنا عليها سابقًا:

$\left(\sqrt{\frac{X}{6}}\right)^3 = 216$

الآن، نحل المعادلة بأخذ الجذر التكعيبي للجانبين:

$\sqrt[3]{\left(\sqrt{\frac{X}{6}}\right)^3} = \sqrt[3]{216}$

$\sqrt{\frac{X}{6}} = 6$

ثم نربع الجانبين للتخلص من الجذر:

$\frac{X}{6} = 36$

ثم نضرب كلا الجانبين في 6 للحصول على قيمة $X$:

$X = 6 \times 36$

$X = 216$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ تساوي 216 سم مربع.

لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الهندسة والجبر.

1. مساحة سطح المكعب:
   مساحة سطح المكعب تُحسب بجمع مساحات جميع وجوه المكعب. لمكعب، كل الوجوه متماثلة ولها نفس المساحة.
   لو كان للمكعب طول ضلعه $a$، فإن مساحة سطحه تساوي $6a^2$، لأن هناك ستة وجوه، وكل وجه له مساحة $a^2$.

2. حجم المكعب:
   حجم المكعب يُحسب برفع طول ضلعه إلى القوة الثالثة. لذا، إذا كان طول ضلع المكعب $a$، فإن حجمه يساوي $a^3$.

باستخدام هذه القوانين، نستطيع تكوين معادلات لحل المسألة. إليك الخطوات بالتفصيل:

1. العثور على طول ضلع المكعب:
   نعلم أن مساحة سطح المكعب مساوية لـ $X$، لذا:
   $6a^2 = X$
   حيث $a$ هو طول ضلع المكعب.

2. حل المعادلة للعثور على $a$:
   $a^2 = \frac{X}{6}$
   $a = \sqrt{\frac{X}{6}}$

3. حساب حجم المكعب:
   حجم المكعب يُمثل بـ $a^3$، لذا:
   $(\sqrt{\frac{X}{6}})^3 = 216$

4. حل المعادلة للعثور على $X$:
   $\sqrt[3]{\left(\sqrt{\frac{X}{6}}\right)^3} = \sqrt[3]{216}$
   $\sqrt{\frac{X}{6}} = 6$
   $\frac{X}{6} = 36$
   $X = 6 \times 36 = 216$

بالتالي، قيمة المتغير المجهول $X$ تساوي 216 سم مربع.