حل مسألة: مساحة مستطيل وفارق الأبعاد

مساحة أرض مستطيلة تعادل 15 مرة عرضها، والفارق بين طولها وعرضها هو 10 أمتار. ما هو عرضها؟

لنعرب هذه المسألة بشكل رياضي:

لنكن “الطول” بمقدار $L$ و”العرض” بمقدار $B$.

نعلم أن مساحة المستطيل تعادل طوله ضرب عرضه، أي $L \times B$. ووفقًا للمعطيات، نعرب ذلك بالمعادلة التالية:

$L \times B = 15B$

المعلومة الثانية تقول إن الفارق بين الطول والعرض هو 10 أمتار، أي $L – B = 10$.

الآن لدينا نظامين من المعادلات:

$\begin{cases} L \times B = 15B \\ L – B = 10 \end{cases}$

نحل هذا النظام لنجد قيمة $B$، وهي العرض.

نبدأ بحل المعادلة الثانية:

$L – B = 10$

نقوم بإعادة ترتيبها للحصول على قيمة $L$:

$L = B + 10$

الآن نستخدم هذه القيمة في المعادلة الأولى:

$(B + 10) \times B = 15B$

نقوم بحساب الضرب وتوسيع المعادلة:

$B^2 + 10B = 15B$

ننقل جميع المصطلحات إلى الجهة اليسرى:

$B^2 + 10B – 15B = 0$

نجمع المصطلحات المشابهة:

$B^2 – 5B = 0$

نقوم بعملية العامل المشترك:

$B(B – 5) = 0$

هنا نحصل على حلين للمعادلة:

$B = 0$

$B – 5 = 0$

ولكن العرض لا يمكن أن يكون صفرًا، لذا نستبعد الحل $B = 0$، ونستمر بحساب الحل الآخر:

$B – 5 = 0$

$B = 5$

إذاً، عرض المستطيل هو 5 أمتار.

لحل هذه المسألة، سنستخدم القوانين الأساسية لحساب مساحة المستطيل وأيضًا قانون الفارق بين الطول والعرض. الخطوات ستتضمن تحويل النص إلى معادلات رياضية وحل النظام المكون منها.

لنمثل الطول بـ $L$ والعرض بـ $B$.

القانون الأول الذي سنستخدمه هو قانون مساحة المستطيل، حيث أن مساحة المستطيل تعادل طوله مضروبًا في عرضه:

$L \times B = \text{المساحة}$

ووفقًا للمعطيات، المساحة تعادل 15 مرة العرض، لذا:

$L \times B = 15B$

القانون الثاني الذي سنستخدمه هو قانون الفارق بين الطول والعرض، حيث إن الفارق بين الطول والعرض يُعطى بواسطة المعادلة:

$L – B = \text{الفارق}$

ووفقًا للمعطيات، الفارق يعادل 10 أمتار، لذا:

$L – B = 10$

الخطوة التالية هي حل النظام المكون من هاتين المعادلتين للعثور على قيم $L$ و $B$.

نبدأ بحل المعادلة الثانية للعثور على قيمة $L$ في صورة $L = B + 10$.

الآن نستخدم هذه القيمة في المعادلة الأولى:

$(B + 10) \times B = 15B$

نقوم بحساب الضرب وتوسيع المعادلة:

$B^2 + 10B = 15B$

نقوم بنقل جميع المصطلحات إلى الجهة اليسرى:

$B^2 + 10B – 15B = 0$

ثم نجمع المصطلحات المشابهة:

$B^2 – 5B = 0$

نطبق عملية العامل المشترك:

$B(B – 5) = 0$

ونجد حلين:

$B = 0$

$B – 5 = 0$

نستبعد الحل $B = 0$ لأن العرض لا يمكن أن يكون صفرًا، ونحصل على الحل الآخر:

$B – 5 = 0$

$B = 5$

إذاً، تمثل قيمة $B$ العرض وتكون 5 أمتار. القانون الذي تم استخدامه في هذا السياق هو قانون حساب مساحة المستطيل ($L \times B$) وقانون الفارق بين الطول والعرض ($L – B$).