حل مسألة: مساحة مستطيل بأبعاد معادلة (مسألة رياضيات)

نعتبر مستطيلًا له أبعاد $(x – 2)$ في $(2x + 5)$، ونعلم أن مساحته تساوي $(8x – 6)$.

لحساب مساحة المستطيل، نستخدم الصيغة:

$\text{المساحة} = \text{الطول} \times \text{العرض}$

وبما أن طول المستطيل يعتبر $(x – 2)$ والعرض يعتبر $(2x + 5)$، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$(x – 2) \times (2x + 5) = 8x – 6$

لحساب القيمة المطلوبة لـ $x$، يتعين علينا حل هذه المعادلة. نقوم بفتح القوسين وضرب المعادلة:

$2x^2 + 5x – 4x – 10 = 8x – 6$

نجمع الأعضاء المتشابهة:

$2x^2 + x – 10 = 8x – 6$

ثم نقوم بترتيب المعادلة في شكل قياسي:

$2x^2 – 7x – 4 = 0$

الآن، نحتاج إلى حل هذه المعادلة الثانوية. يمكننا استخدام الصيغة التالية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 2$ و $b = -7$ و $c = -4$. نستخدم قيم هذه الثوابت في الصيغة:

$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 – 4(2)(-4)}}{2(2)}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{4}$

$x = \frac{7 \pm 9}{4}$

هنا لدينا حلين ممكنين:

1. عند استخدام الجذر الموجب:

$x_1 = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

2. عند استخدام الجذر السالب:

$x_2 = \frac{7 – 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

إذاً، لدينا حلاً ممكنين للمعادلة وهما $x = 4$ أو $x = -\frac{1}{2}$.

لنقوم بحل تلك المسألة بتفصيل أكثر، سنستخدم القوانين الرياضية المتعلقة بحساب المساحة وحل المعادلات الثانوية.

المستطيل لديه أبعاد $(x – 2)$ في $(2x + 5)$، ونعلم أن مساحته تساوي $(8x – 6)$. نستخدم قانون حساب مساحة المستطيل، حيث المساحة تساوي الطول مضروبًا في العرض:

$\text{المساحة} = \text{الطول} \times \text{العرض}$

نستخدم هذا القانون لكتابة المعادلة التالية:

$(x – 2) \times (2x + 5) = 8x – 6$

ثم نقوم بفتح القوسين وضرب المعادلة:

$2x^2 + 5x – 4x – 10 = 8x – 6$

نجمع الأعضاء المتشابهة:

$2x^2 + x – 10 = 8x – 6$

ثم نقوم بترتيب المعادلة في شكل قياسي:

$2x^2 – 7x – 4 = 0$

الآن نستخدم القانون العام لحل المعادلة الثانوية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 2$ و $b = -7$ و $c = -4$. نستخدم قيم هذه الثوابت في الصيغة:

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{4}$

$x = \frac{7 \pm 9}{4}$

هنا لدينا حلين ممكنين:

1. عند استخدام الجذر الموجب:

$x_1 = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

2. عند استخدام الجذر السالب:

$x_2 = \frac{7 – 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

لذا، القيمتان $x = 4$ أو $x = -\frac{1}{2}$ تحققان المعادلة. الحلاول النهائية للمسألة هما $x = 4$ أو $x = -\frac{1}{2}$.