حل مسألة: مساحة مربع مع مثلث قائم في الزاوية (مسألة رياضيات)

نعتبر المضلع $ABCD$ هو مربع، ونعلم أن القطعة $AE$ متعامدة على القطعة $ED$. إذا كانت طول $AE$ يساوي 8 وطول $DE$ يساوي 6، يمكننا حساب طول القطعة $AD$ باستخدام مبدأ فيثاغورس، حيث تكون $AD$ الوتر الرئيسي للمربع.

للقيام بذلك، نستخدم المعادلة التالية:

$AD^2 = AE^2 + DE^2$

$AD^2 = 8^2 + 6^2$

$AD^2 = 64 + 36$

$AD^2 = 100$

$AD = 10$

الآن، وبما أننا نعلم طول الضلع $AD$، يمكننا حساب مساحة المربع باستخدام العلاقة:

$\text{مساحة المربع} = AD^2 = 10^2 = 100 \, \text{مربع وحدة}$

المساحة الكلية للمضلع $AEDCB$ هي مجموع مساحة المربع والمثلث $AED$. المثلث $AED$ هو مثلث قائم الزاوية، وباستخدام القاعدة $\text{المساحة} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$ يمكننا حساب مساحته:

$\text{مساحة} = \frac{1}{2} \times AE \times DE = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \, \text{مربع وحدة}$

المساحة الكلية للمضلع $AEDCB$ هي مجموع مساحة المربع والمثلث، أي:

$\text{مساحة المضلع} = \text{مساحة المربع} + \text{مساحة المثلث} = 100 + 24 = 124 \, \text{مربع وحدة}$

إذا كانت المربع $ABCD$ يمثل منطقة الضلعين $AE$ و $ED$، فإن مساحة المضلع $AEDCB$ تكون 124 مربع وحدة.

بالطبع، دعونا نستعرض الحل بمزيد من التفاصيل ونذكر القوانين المستخدمة في الحسابات.

نبدأ بالمعلومات المعطاة: لدينا مربع $ABCD$ حيث $AB = BC = CD = DA$. القطعة $AE$ هي متعامدة على $ED$. طول $AE$ يساوي 8 وطول $DE$ يساوي 6.

1. حساب طول الوتر $AD$:

   نستخدم مبرهنة فيثاغورث لحساب طول الوتر $AD$ في المثلث القائم $AED$:

   $AD^2 = AE^2 + DE^2$

   حيث:

   • $AD$ هو طول الوتر الرئيسي.
   • $AE$ هو طول قطعة الضلع.
   • $DE$ هو طول الوتر العمودي.

   بوضع القيم:
   $AD^2 = 8^2 + 6^2$
   $AD^2 = 64 + 36$
   $AD^2 = 100$
   $AD = 10$

   إذاً، طول الوتر $AD$ يساوي 10 وحدات.

2. حساب مساحة المربع:

   مساحة المربع تحسب باستخدام القاعدة:
   $\text{مساحة المربع} = AD^2 = 10^2 = 100 \, \text{مربع وحدة}$

3. حساب مساحة المثلث $AED$:

   المثلث $AED$ هو مثلث قائم الزاوية، ونستخدم القاعدة:
   $\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$

   حيث:

   • القاعدة هي قطعة $AE$.
   • الارتفاع هو طول الوتر $DE$.

   $\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \, \text{مربع وحدة}$

4. حساب مساحة المضلع $AEDCB$:

   مساحة المضلع هي مجموع مساحة المربع والمثلث:
   $\text{مساحة المضلع} = \text{مساحة المربع} + \text{مساحة المثلث} = 100 + 24 = 124 \, \text{مربع وحدة}$

القوانين المستخدمة:

1. مبرهنة فيثاغورث:
   في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.

2. قاعدة حساب مساحة المثلث:
   مساحة المثلث تُحسب بجمع نصف قاعدته مضروبة في الارتفاع.

3. قاعدة حساب مساحة المربع:
   مساحة المربع تُحسب برفع طول أحد أضلاعه إلى السلطة الثانية.