حل مسألة: مساحة مربع بقطر 10√2 (مسألة رياضيات)

ضع المربع لديه قطر بطول $10\sqrt{2}$ سنتيمتر. ما هي مساحة المربع بالسنتيمتر المربع؟

لحل هذه المسألة، يمكننا الاستفادة من الخصائص الهندسية للمربع. في المربع، جميع الأضلاع متساوية الطول، وكل زاوية داخلية تساوي 90 درجة. القطر يقسم المربع إلى مثلثين متطابقين، حيث يكون كل ضلع من هذين المثلثين يمثل نصف قيمة القطر.

لحساب طول الضلع، نقوم بقسمة طول القطر على $\sqrt{2}$ لأن المثلث الذي يتكون من القطر والضلع هو مثلث قائم الزاوية، ونستخدم النسبة بين طول الضلع والقطر في المثلث.

لذلك، الطول الفعلي للضلع هو:
$\text{الطول الفعلي للضلع} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10$

الآن، بما أن كل الأضلاع متساوية، فإن مساحة المربع هي مجرد تربيع طول أحد الأضلاع. لذا:
$\text{مساحة المربع} = (\text{الطول الفعلي للضلع})^2 = 10^2 = 100$

إذا كانت مساحة المربع تساوي 100 سنتيمتر مربع.

بالطبع، دعونا نقوم بتوضيح الحل بشكل أكبر وذلك باستخدام القوانين الهندسية المستخدمة.

القوانين المستخدمة:

1. خاصية المربع: في المربع، جميع الأضلاع متساوية الطول وجميع الزوايا داخلية تساوي 90 درجة.

2. خاصية المثلث القائم الزاوية: عندما يكون لدينا مثلث قائم الزاوية، يمكننا استخدام معادلات بيثاغورس لحساب طول الضلع.

الحل:

نعلم أن القطر يقسم المربع إلى مثلثين قائمي الزوايا وكل ضلع من هذين المثلثين هو نصف قيمة القطر.

لحساب طول الضلع، نستخدم معادلة بيثاغورس:
$\text{الطول الفعلي للضلع} = \frac{\text{طول القطر}}{\sqrt{2}}$

في هذه الحالة:
$\text{الطول الفعلي للضلع} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10$

الآن، بما أن كل الأضلاع متساوية، يمكننا حساب مساحة المربع بتربيع طول أحد الأضلاع:
$\text{مساحة المربع} = (\text{الطول الفعلي للضلع})^2 = 10^2 = 100$

لذلك، مساحة المربع تساوي 100 سنتيمتر مربع.