حل مسألة: مساحة مثلث بناءً على محيط ونصف قطر داخلي

أعطيت مثلث ذي محيط يبلغ 42 سم، وله نصف قطر داخلي يساوي 5.0 سم. ما هي المساحة الكلية لهذا المثلث؟

لنقم أولاً بتحديد طول أضلاع المثلث باستخدام المعلومات المعطاة. لنكن $a$، $b$، و $c$ هي أطوال أضلاع المثلث. إذاً، يتمثل المحيط في مجموع أطوال الأضلاع كما يلي:

$P = a + b + c = 42 \, \text{سم}$

بمعرفة أطوال الأضلاع، يمكننا الآن حساب نصف قطر الدائرة المدرجة (inradius) باستخدام الصيغة التالية:

$r = \frac{A}{s}$

حيث $A$ هي مساحة المثلث و $s$ هو نصف محيط المثلث ($s = \frac{P}{2}$). يُعبر $r$ عن نصف قطر الدائرة المدرجة في المثلث.

نعرف أيضًا أن مساحة المثلث يمكن حسابها باستخدام العلاقة التالية:

$A = rs$

حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة المدرجة، و $s$ هو نصف محيط المثلث.

بمعرفة قيمة $r$ و $s$ يمكننا حساب $A$. الخطوة الأخيرة تتمثل في إيجاد المساحة باستخدام العلاقة السابقة.

أتمنى أن يكون هذا الشرح وافيًا وواضحًا.

بالطبع، دعونا نقم بتفصيل حلا المسألة بشكل أكبر ونستعرض القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل.

المسألة تشير إلى مثلث له محيط يبلغ 42 سم، ونصف قطر داخلي (inradius) يساوي 5.0 سم. لنحل هذه المسألة، نستخدم القوانين التالية:

1. قانون جمع أطوال الأضلاع:
   $P = a + b + c$
   حيث $P$ هو المحيط و $a$ و $b$ و $c$ هي أطوال الأضلاع.

2. حساب نصف محيط المثلث:
   $s = \frac{P}{2}$
   حيث $s$ هو نصف محيط المثلث.

3. صيغة حساب نصف قطر الدائرة المدرجة (inradius):
   $r = \frac{A}{s}$
   حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة المدرجة، $A$ هي مساحة المثلث، و $s$ هو نصف محيط المثلث.

4. صيغة حساب مساحة المثلث باستخدام نصف محيطه ونصف قطر الدائرة المدرجة:
   $A = rs$
   حيث $A$ هو مساحة المثلث، $r$ هو نصف قطر الدائرة المدرجة، و $s$ هو نصف محيط المثلث.

بعد حساب قيمة $r$ و $s$ باستخدام المعلومات المعطاة، يمكننا استخدام الصيغة الرابعة لحساب مساحة المثلث.

أتمنى أن يكون هذا الشرح قد فهم بشكل جيد وأن يكون وافياً.