حل مسألة: مساحة الدائرة ومحيط المربع (مسألة رياضيات)

من المعطيات، يعرفنا السؤال أن طول الخيط يساوي محيط المربع، والمساحة المقابلة لهذا المربع هي 144 وحدة مربعة. لنحسب طول ضلع المربع أولاً:

لنفترض أن طول ضلع المربع يساوي $x$ وبالتالي محيط المربع يساوي مضاعف الطول: $P = 4x$.

وفقًا للشروط المعطاة في المسألة، يتم توجيه الخيط حول المربع مرة واحدة، لذا يساوي طول الخيط محيط المربع.

إذاً:
$4x = \text{طول الخيط}$

لكننا نعرف أيضًا أن مساحة المربع تساوي 144 وحدة مربعة:
$\text{مساحة المربع} = x^2 = 144$
$x = \sqrt{144} = 12$

وبالتالي، محيط المربع يكون:
$P = 4 \times 12 = 48$

الآن، نعرف أن الخيط سيتم استخدامه لتشكيل دائرة، ونريد معرفة أكبر مساحة ممكنة يمكن أن تكون لهذه الدائرة. في الدائرة، القطر متساوي لمحيطها.

إذاً، القطر $d$ للدائرة يساوي طول الخيط، أي $d = 48$.

الآن، لحساب مساحة الدائرة، نحتاج إلى معرفة نصف قطر الدائرة، والذي يساوي نصف القطر:
$r = \frac{d}{2} = \frac{48}{2} = 24$

ثم، نستخدم العلاقة التالية لحساب مساحة الدائرة:
$A = \pi r^2$

حيث أن قيمة $\pi$ تُقرب إلى 3.14.

$A = 3.14 \times (24)^2$
$A = 3.14 \times 576$
$A \approx 1808.64$

بالتالي، مساحة أكبر دائرة يمكن تشكيلها باستخدام الخيط هي حوالي 1809 وحدة مربعة بعد تقريبها إلى العدد الصحيح الأقرب.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام المفاهيم الهندسية والجبرية المتعلقة بمحيط المربع ومساحة الدائرة.

القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل:

1. محيط المربع: يُعرف محيط المربع بالصيغة: $P = 4s$ حيث $s$ هو طول ضلع المربع.

2. مساحة المربع: تُحسب مساحة المربع بالصيغة: $A = s^2$ حيث $s$ هو طول ضلع المربع.

3. العلاقة بين محيط الدائرة وقطرها: محيط الدائرة يُعرف بالصيغة: $C = \pi d$ حيث $\pi$ هو ثابت الدائرة (يُقرب عادة بقيمة 3.14) و $d$ هو القطر.

4. مساحة الدائرة: تُحسب مساحة الدائرة بالصيغة: $A = \pi r^2$ حيث $\pi$ هو ثابت الدائرة و $r$ هو نصف قطر الدائرة.

الآن، بالنظر إلى المسألة:

• نُعطى أن محيط المربع يُساوي طول الخيط، والذي نعلم أنه يساوي 48 وحدة.
• يُعرف لنا أيضًا أن مساحة المربع تساوي 144 وحدة مربعة.

باستخدام المعادلات أعلاه، نستطيع حساب طول ضلع المربع، الذي هو 12 وحدة. بعد ذلك، نحسب نصف القطر للدائرة، الذي يُعطى بواسطة نصف المحيط (الذي هو الطول الكلي للخيط)، وهو 24 وحدة.

ثم، نستخدم الصيغة لحساب مساحة الدائرة، مع استخدام قيمة $\pi$ المُقربة لتقدير المساحة بدقة.

باختصار، نحتاج إلى معرفة العلاقات الهندسية الأساسية بين محيط المربع ومحيط الدائرة وبين مساحة المربع ومساحة الدائرة لحل هذه المسألة.