حل مسألة: مساحة الحديقة المستطيلة (مسألة رياضيات)

ماكينزي قامت بشراء 142 قدمًا من السياج لإحاطة حديقتها المستطيلة. أطوال جوانب الحديقة هي أعداد طبيعية. ما هو أكبر مساحة ممكنة، بالقدم المربع، التي يمكن إحاطتها بالسياج؟

لنفترض أن الطول والعرض للحديقة هما $x$ و $y$ على التوالي. نعلم أن محيط الحديقة هو 142 قدمًا وأن المحيط يتكون من مجموع طولي الأربعة جوانب، أي:

$2x + 2y = 142$

نريد أن نقوم بتفسير العلاقة بين محيط الحديقة ومجموع أطوال الجوانب بشكل كامل. إذا كان محيط الحديقة معروفًا ونريد أن نحسب أقصى مساحة ممكنة، فإننا بحاجة إلى تجريب قيم مختلفة للأبعاد.

للعثور على أقصى مساحة ممكنة، نريد أن نحدد القيمة القصوى للمساحة $A$ التي تساوي الطول مضروباً في العرض، أي $A = xy$.

نحاول تعبئة الحد الأقصى للمساحة بالاستفادة من العلاقة التي لدينا بين المحيط والأبعاد.

لحل المعادلة، نبدأ بحل واحدة من المتغيرات بالنسبة للأخرى، فمثلاً، نعين قيمة $x$ بالنسبة لـ $y$، ومن ثم نستخدم العلاقة المعطاة لنحسب القيمة الأخرى.

سنقوم بحل المعادلة $2x + 2y = 142$ للحصول على قيمة $y$ بالنسبة لـ $x$. نقوم بذلك عن طريق حل المعادلة لـ $y$ كمتغير بالنسبة لـ $x$، والحصول على معادلة تمثل علاقة $y$ بالنسبة لـ $x$.

$y = 71 – x$

الآن نستخدم هذه العلاقة لحساب المساحة $A$ بالتعويض في المعادلة $A = xy$. سنحصل على:

$A(x) = x(71 – x)$

الآن، سنقوم بتفريق $A(x)$ بالنسبة لـ $x$، ومن ثم سنجد القيمة الأقصى لها بحساب نقطة التغيير (المقام الذي تكون فيه مشتقتها صفرًا)، أو بالتحقق من الحدود. سنقوم بذلك باستخدام قاعدة الحساب والجبر:

$A(x) = 71x – x^2$

$\frac{dA}{dx} = 71 – 2x$

عندما نضع مشتقة $A$ تساوي صفرًا:

$71 – 2x = 0$

$x = \frac{71}{2} = 35.5$

نرى أن القيمة $x$ هنا غير ممكنة لأنها ليست عددًا طبيعيًا. فماذا يحدث؟

نراجع الشروط الأصلية للمشكلة، ونجد أن الأبعاد يجب أن تكون أعدادًا طبيعية. لذا، نقوم بتجريب القيم التي تقل أو تساوي 71/2، وهي 35 و 36.

عند $x = 35$، يكون $y = 71 – 35 = 36$، وعند $x = 36$، يكون $y = 71 – 36 = 35$.

الآن سنحسب مساحة الحديقة عند كل من $x = 35$ و $x = 36$، ونختار الأكبر منهما.

عند $x = 35$:

$A = 35 \times 36 = 1260$

عند $x = 36$:

$A = 36 \times 35 = 1260$

لذا، أكبر مساحة ممكنة تكون $1260$ قدم مربع.

في هذه المسألة، نواجه مشكلة في تحديد الأبعاد المثلى للحديقة المستطيلة التي يمكن إحاطتها بالسياج المعطى. الهدف هو ماكسيميزي الرقم الذي يمثل مساحة الحديقة.

القانون الرئيسي المستخدم في الحل هو العلاقة بين محيط الحديقة وأبعادها. لحساب المحيط، نستخدم العلاقة التالية للمستطيل:

$\text{محيط المستطيل} = 2 \times \text{الطول} + 2 \times \text{العرض}$

وفي هذه المسألة، المحيط معطى بقيمة 142 قدم، وهو يساوي محيط الحديقة المستطيلة.

ثم نريد تعبئة أكبر مساحة ممكنة باستخدام هذا المحيط. لذا، نستخدم العلاقة بين المساحة وأبعاد المستطيل:

$\text{مساحة المستطيل} = \text{الطول} \times \text{العرض}$

بعد ذلك، نقوم بحل معادلة المحيط للحصول على علاقة بين الطول والعرض. ومن خلال حل هذه العلاقة، نحصل على القيم الممكنة للأبعاد التي تساعدنا في تعبئة المساحة بأكبر قدر ممكن.

القوانين المستخدمة هي:

1. قانون محيط المستطيل: $\text{محيط المستطيل} = 2 \times \text{الطول} + 2 \times \text{العرض}$
2. قانون مساحة المستطيل: $\text{مساحة المستطيل} = \text{الطول} \times \text{العرض}$

وقد استخدمنا التحليل الجبري والمشتقات الجزئية للوصول إلى القيم المناسبة للأبعاد تحت الشرط المفروض (أن الأبعاد يجب أن تكون أعداداً طبيعية)، وذلك لتحديد أكبر مساحة ممكنة يمكن تحقيقها بالسياج المعطى.