حل مسألة مسابقة حسابية: أفضل نسبة نجاح للمشارك بيتا (مسألة رياضيات)

في مسابقة حل المشاكل التي استمرت يومين، شارك اللاعبان ألفا وبيتا. في نهاية اليوم الثاني، كل منهما حاول أسئلة تبلغ مجموعها X نقطة. أحرز ألفا 160 نقطة من أصل 300 نقطة حاولها في اليوم الأول، وحصل على 140 نقطة من أصل 200 نقطة حاولها في اليوم الثاني. بيتا، الذي لم يحاول 300 نقطة في اليوم الأول، حقق نقطة صحيحة على كل من اليومين، ونسبة نجاحه اليومية (النقاط المحققة مقسومة على النقاط التي حاولها) في كل يوم كانت أقل من نسبة نجاح ألفا في ذلك اليوم. نسبة نجاح ألفا ليومين متتاليين كانت $300/500 = 3/5$.

الآن، نحتاج إلى العثور على أكبر نسبة نجاح يومين ممكنة يمكن أن يحققها بيتا. إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي $\frac{349}{500}$، فما هو قيمة المتغير X؟

للحصول على النسبة النهائية لبيتا، يجب علينا حساب عدد النقاط التي حققها على مدى اليومين. نلاحظ أن نسبة نجاح ألفا ليومين متتاليين هي 3/5، وهذا يعني أنها حققت 3 نقاط لكل 5 نقاط حاولتها. إذاً، إذا كانت نسبة نجاح بيتا في يوم معين هي p/q، فإنه يجب عليه أن يحقق p نقطة لكل q نقطة حاولها.

نلاحظ أن ألفا حاولت مجموعًا قدره 500 نقطة (300 في اليوم الأول و200 في اليوم الثاني)، وحققت 3/5 من هذا المجموع، أي 300 نقطة. لذلك، يجب أن يحاول بيتا مجموع نقاط يكون 500 – 300 = 200 نقطة، ويحقق نسبة نجاح تكون 3/5 من هذا المجموع.

لذا، نحتاج إلى حساب قيمة X، التي تمثل المجموع الإجمالي للنقاط التي حاولها بيتا على مدى اليومين. إذا كانت p نقطة هي الجزء الذي يحققه بيتا من هذا المجموع، فإننا نحتاج إلى حل المعادلة:

$p/q = 3/5$

وبتوسيع هذه المعادلة باستخدام القيم المعروفة، نجد أن:

$p = \frac{3}{5} \times \frac{200}{1} = 120$

لذا، بيتا يحقق 120 نقطة من أصل 200 نقطة حاولها في اليوم الثاني. القيمة المتبقية من X هي 200 – 120 = 80 نقطة، والتي تمثل النقاط التي حاولها بيتا في اليوم الأول.

بالتالي، إذا كانت الإجابة على السؤال هي $\frac{349}{500}$، فإن قيمة X هي 80 نقطة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم عدة خطوات وقوانين رياضية. دعونا نقوم بتفصيل الحل:

1. تحديد مجموع النقاط الكلي (X):

   • نعلم أن Alpha حاولت 300 نقطة في اليوم الأول و 200 نقطة في اليوم الثاني، لذلك مجموع النقاط الكلي الذي حاولته Alpha هو 300 + 200 = 500 نقطة.

2. حساب نسبة نجاح Alpha:

   • نعلم أن نسبة نجاح Alpha على مدى يومين متتاليين هي 3/5.
   • نقوم بحساب النقاط التي حققها Alpha عبر ضرب النسبة في مجموع النقاط: $\frac{3}{5} \times 500 = 300$ نقطة.

3. تحديد مجموع النقاط التي حاولها Beta:

   • نحتاج لتحديد مجموع النقاط التي حاولها Beta في اليوم الأول والثاني.
   • نفترض أن Beta حققت $p$ نقطة في اليوم الأول و $q$ نقطة في اليوم الثاني.

4. تحديد نسبة نجاح Beta:

   • نعلم أن نسبة نجاح Beta يجب أن تكون أقل من نسبة نجاح Alpha في كل يوم.

   $\frac{p}{300} < \frac{160}{300} \quad \text{و} \quad \frac{q}{200} < \frac{140}{200}$

5. حساب قيم $p$ و $q$ باستخدام النسب المحددة:

   • نقوم بحساب قيم $p$ و $q$ باستخدام العلاقات المعطاة.
   • يجب أن يكون $p < \frac{160}{300} \times 300$ و $q < \frac{140}{200} \times 200$ لتحقيق الشرط.

6. تحديد النقاط التي حققها Beta:

   • نحسب مجموع النقاط التي حققها Beta عبر جمع قيم $p$ و $q$.

7. تحديد قيمة $X$ – المجموع الإجمالي:

   • نحسب القيمة المتبقية من $X$ عبر خصم النقاط التي حققها Alpha و Beta من المجموع الكلي.

8. التحقق من الإجابة:

   • نتحقق من أن النسبة التي حققها Beta هي الأكبر، وهي المعطاة في السؤال.

القوانين المستخدمة:

• قوانين النسب والتناسب.
• تحديد النقاط من خلال نسب نجاح محددة.
• حساب المجموع الإجمالي والفرق بين النقاط.

هذه الخطوات والقوانين تعكس الطريقة التي يمكن من خلالها حل هذه المسألة الحسابية بشكل شامل وتفصيلي.