حل مسألة: مربعات ومحيطات بقيمة x (مسألة رياضيات)

مساحة مربع واحد هي $x^2 + 4x + 4$، ومساحة مربع آخر هي $4x^2 – 12x + 9$. إذا كان مجموع المحيطين للمربعين هو 32، فما هي قيمة $x$؟

لنبدأ بحساب محيطي المربعين. محيط المربع يُحسب بجمع طول جميع الأضلاع. إذا كانت الطولات تُمثل بالترتيب بواسطة $a$، $b$، $c$، و $d$، فإن محيط المربع يكون:

$P = a + b + c + d$

الآن، لنجد قيم $a$، $b$، $c$، و $d$ بناءً على المعادلتين لمساحتي المربعين:

1. للمربع الأول: مساحته $x^2 + 4x + 4$، لذا طول الضلع يكون $(x + 2)$، لأننا نريد الجذر التربيعي للمعادلة $x^2 + 4x + 4$.

2. للمربع الثاني: مساحته $4x^2 – 12x + 9$، لذا طول الضلع يكون $(2x – 3)$، لأننا نريد الجذر التربيعي للمعادلة $4x^2 – 12x + 9$.

الآن، نقوم بكتابة معادلة لمجموع المحيطين:

$P_1 + P_2 = (x + 2) + (2x – 3) + (x + 2) + (2x – 3) = 32$

نقوم بجمع الأعضاء المماثلة:

$6x – 2 = 32$

ثم نحل المعادلة للعثور على قيمة $x$:

$6x = 34$

$x = \frac{34}{6} = \frac{17}{3}$

إذا كانت قيمة $x$ تساوي $\frac{17}{3}$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم القوانين الخاصة بحساب المساحة والمحيط للمربعات. لنبدأ بكتابة المعادلات واستخدام القوانين:

لنتعرف على الضلعين $a$ و $b$ للمربع الأول بناءً على معادلة المساحة:

$a^2 = x^2 + 4x + 4$

نستخدم الجذر التربيعي للعثور على الضلع:

$a = \sqrt{x^2 + 4x + 4} = x + 2$

بالطريقة نفسها، يمكننا العثور على الضلعين $c$ و $d$ للمربع الثاني:

$c^2 = 4x^2 – 12x + 9$

$c = \sqrt{4x^2 – 12x + 9} = 2x – 3$

الآن، سنحسب محيط كل مربع. محيط المربع يعادل مجموع طول جميع الأضلاع:

$P_1 = a + b + c + d = (x + 2) + (2x – 3) + (x + 2) + (2x – 3)$

جمع الأعضاء المتشابهة:

$P_1 = 6x – 2$

نفعل نفس العملية للمربع الثاني:

$P_2 = c + d + a + b = (2x – 3) + (2x – 3) + (x + 2) + (x + 2)$

جمع الأعضاء المتشابهة:

$P_2 = 6x – 2$

المسألة تقول إن مجموع المحيطين هو 32:

$P_1 + P_2 = 32$

نستخدم القيم التي حسبناها:

$(6x – 2) + (6x – 2) = 32$

جمع الأعضاء المتشابهة:

$12x – 4 = 32$

نحل المعادلة:

$12x = 36$

$x = \frac{36}{12} = 3$

إذا كانت قيمة $x$ تساوي 3.