حل مسألة: مدى الوقت لملء الخزان (مسألة رياضيات)

سرعة أنبوب واحد في ملء خزان تكون أربع مرات أسرع من سرعة أنبوب آخر. إذا تم استخدام الأنبوبين معًا، يمكنهما ملء الخزان في 36 دقيقة. ما هو الوقت الذي يحتاجه الأنبوب الأبطأ وحده لملء الخزان؟

لنقم بتعريف سرعة الأنبوب الأسرع بـ x وذلك يعني أن سرعة الأنبوب الأبطأ هي 1/4x. إذاً، إذا كان الأنبوبان يعملان معًا، فإن سرعتهما الكلية هي x + 1/4x (الأنبوب الأسرع يعمل بسرعة x والأبطأ بسرعة 1/4x).

ونعلم أن الوقت الذي يحتاجهما لملء الخزان معًا هو 36 دقيقة. نستخدم معادلة العلاقة بين السرعة والزمن (السرعة = العمل/الزمن) لحساب السرعة الكلية:

$x + \frac{1}{4}x = \frac{1}{36}$

نضرب كل طرف في المعادلة في 36 لتخلص من المقام في الجهة اليمنى:

$36x + 9x = 1$

$45x = 1$

$x = \frac{1}{45}$

الآن نعود للسرعة الأبطأ، التي هي 1/4x:

$\text{سرعة الأنبوب الأبطأ} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{45}$

نحسب هذا:

$\text{سرعة الأنبوب الأبطأ} = \frac{1}{180}$

الآن، لحساب الوقت الذي يحتاجه الأنبوب الأبطأ وحده لملء الخزان، نستخدم العلاقة بين العمل والزمن:

$\text{الزمن} = \frac{\text{العمل}}{\text{السرعة}}$

نستخدم هنا سرعة الأنبوب الأبطأ:

$\text{الزمن} = \frac{1}{\frac{1}{180}}$

نحسب هذا:

$\text{الزمن} = 180$

إذا، يحتاج الأنبوب الأبطأ وحده إلى 180 دقيقة لملء الخزان.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قانون العمل المتبقي وقانون السرعة. قانون العمل المتبقي يقول إن العمل الذي يقوم به كل من الأنابيب معًا يكون متساويًا للعمل الذي يقوم به الأنبوب البطيء لوحده عندما يكون الخزان ممتلئًا. أما قانون السرعة فيقول إن العمل يتناسب طرديًا مع السرعة، أي $\text{العمل} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$.

لنبدأ بتعريف السرعات. إذا كانت سرعة الأنبوب الأسرع تساوي $x$، فإن سرعة الأنبوب الأبطأ تساوي $\frac{1}{4}x$، وذلك لأن السرعة البطيئة هي ربع السرعة السريعة. عندما يعملان معًا، يكون العمل الكلي هو جمع السرعتين:

$\text{العمل الكلي} = x + \frac{1}{4}x$

وهو يمثل العمل الذي يتم بوحدة الزمن (دقيقة واحدة) عندما يعمل الأنبوبان معًا.

وفقًا للمعلومات في المسألة، يستغرق الأنبوبان معًا 36 دقيقة لملء الخزان. لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$\text{العمل الكلي} \times 36 = 1$

الآن نقوم بحساب العمل الكلي:

$\text{العمل الكلي} = \left(x + \frac{1}{4}x\right) \times 36$

نوحد المعادلة:

$\left(x + \frac{1}{4}x\right) \times 36 = 1$

نقوم بحل المعادلة:

$36x + 9x = 1$

$45x = 1$

$x = \frac{1}{45}$

الآن، نحتاج إلى حساب سرعة الأنبوب البطيء، والتي هي $\frac{1}{4}x$:

$\text{سرعة الأنبوب البطيء} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{45} = \frac{1}{180}$

أخيرًا، نستخدم هذه السرعة لحساب الزمن اللازم للأنبوب البطيء لملء الخزان بمفرده:

$\text{الزمن} = \frac{1}{\frac{1}{180}} = 180$

لذا، يحتاج الأنبوب البطيء وحده إلى 180 دقيقة لملء الخزان.