حل مسألة: مجموع تربيعات الأعداد المتتالية (مسألة رياضيات)

مجموع تربيعات ثلاثة أعداد طبيعية متتالية هو 2030. ما هو العدد الوسط؟

لنقم بتعبير المسألة بشكل رياضي:
لنكن $x$ هو العدد الطبيعي الأول، إذاً الأعداد الثلاثة المتتالية هي $x$، $x+1$، و $x+2$. يمكننا كتابة المعادلة التي تعبر عن المسألة كالتالي:

$x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 = 2030$

الآن، لنقم بحل المعادلة:
$x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 = 2030$

$x^2 + (x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4) = 2030$

$3x^2 + 6x + 5 = 2030$

$3x^2 + 6x – 2025 = 0$

الآن، يمكننا حل هذه المعادلة من خلال استخدام الصيغة التالية لحساب الجذر التربيعي:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

حيث أن معادلتنا هي $3x^2 + 6x – 2025 = 0$، لذا $a=3$، $b=6$، و $c=-2025$.

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2-4(3)(-2025)}}{2(3)}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 24300}}{6}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{24336}}{6}$

$x = \frac{-6 \pm 156}{6}$

الآن، هناك حلاين للمعادلة، ولكننا نريد العدد الطبيعي، لذا نختار الجذر الإيجابي:
$x = \frac{-6 + 156}{6} = \frac{150}{6} = 25$

إذاً، العدد الطبيعي الأول $x$ هو 25. الآن يمكننا حساب الأعداد المتتالية:
$العدد الثاني = x + 1 = 25 + 1 = 26$
$العدد الثالث = x + 2 = 25 + 2 = 27$

إذاً، الأعداد الثلاثة المتتالية هي 25، 26، و 27. والعدد الوسط هو العدد الثاني، أي 26.

لحل هذه المسألة، قمنا بتمثيل المعلومات المعطاة بواسطة المتغير $x$ واستخدمنا المعادلات للتعبير عن العلاقة بين الأعداد الطبيعية المتتالية ومجموع تربيعاتها. فيما يلي تفاصيل أكثر حول الحل والقوانين المستخدمة:

1. تمثيل المعلومات:
   لتمثيل الأعداد الطبيعية المتتالية، افترضنا أن العدد الأول هو $x$، وبالتالي الأعداد الثلاثة هي $x$، $x+1$، و $x+2$.

2. كتابة المعادلة:
   كتبنا معادلة تعبيرًا عن مجموع تربيعات هذه الأعداد، وهي:
   $x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 = 2030$

3. تبسيط المعادلة:
   قمنا بتوسيع التربيعات وتجميع الأعضاء المماثلة للحصول على معادلة من الدرجة الثانية في $x$.

4. حل المعادلة:
   استخدمنا الصيغة العامة لحل معادلة من الدرجة الثانية، حيث قمنا بتحديد قيم $a$، $b$، و$c$، ومن ثم استخدمنا الصيغة:
   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

5. اختيار الجذر المناسب:
   حصلنا على حلاين للمعادلة، واخترنا الجذر الإيجابي لأننا نبحث عن الأعداد الطبيعية.

6. العدد الطبيعي الأول $x$:
   بعد حساب القيم، وجدنا أن $x$ يساوي 25.

7. حساب الأعداد المتتالية:
   باستخدام قيمة $x$، قمنا بحساب الأعداد المتتالية، وهي 25، 26، و27.

8. العدد الوسط:
   العدد الوسط هو العدد الثاني، الذي يساوي 26.

القوانين المستخدمة:

• معادلة المجموعة:
  استخدمنا معادلة لتعبير عن المجموع الذي يتكون من تربيعات الأعداد المتتالية.

• التوسيع والتبسيط:
  قمنا بتوسيع التربيعات وتبسيط المعادلة للحصول على معادلة قابلة للحل.

• صيغة الجذر التربيعي:
  استخدمنا صيغة الجذر التربيعي لحساب قيمة $x$ بناءً على معاملات المعادلة.

• اختيار الحل:
  قمنا باختيار الحل المناسب الذي يتناسب مع السياق الطبيعي للمشكلة (العدد الطبيعي).

• الحساب الرياضي:
  قمنا بالحسابات الرياضية اللازمة للوصول إلى قيمة $x$ والأعداد المتتالية.

• التأكد من النتيجة:
  تأكدنا من النتيجة بواسطة حساب الأعداد المتتالية والتحقق من أنها تلبي المعادلة الأصلية.