حل مسألة مجموع الأعداد الفردية: قاعدة الجمع الحسابي (مسألة رياضيات)

قيمة n إذا كانت مجموع الأعداد الفردية المتتالية من 1 إلى n يساوي 169:

المسألة:
ما هي قيمة n إذا كان مجموع الأعداد الفردية المتتالية من 1 إلى n يساوي 169؟

الحل:
لنقم بتمثيل الأعداد الفردية المتتالية باستخدام n. إذاً، الأعداد ستكون 1، 3، 5، … إلى أن نصل إلى n. يمكننا استخدام مجموع تسلسل الأعداد الفردية لحساب الناتج:

$1 + 3 + 5 + \ldots + n = 169$

نعلم أن هذه المتسلسلة تمثل مجموع تسلسل حسابي للأعداد الفردية، ونحن قادرون على حساب مجموع هذا التسلسل بواسطة الصيغة:

$S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d)$

حيث:
$S_n$ هو مجموع التسلسل.
$n$ هو عدد العناصر.
$a$ هو العنصر الأول في التسلسل.
$d$ هو الفارق بين العناصر.

في هذه الحالة، $a = 1$ (لأن العنصر الأول هو 1) و $d = 2$ (لأن الفارق بين الأعداد الفردية هو 2). لذا، نستخدم هذه القيم في الصيغة:

$169 = \frac{n}{2} \cdot (2 \times 1 + (n-1) \times 2)$

بعد ذلك، نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة n. يمكن تبسيط المعادلة وحسابها بشكل دقيق للحصول على القيمة النهائية لـ n.

حل مسألة مجموع الأعداد الفردية المتتالية حتى تكون المجموعة تساوي 169:

نعتبر التسلسل الذي يتكون من الأعداد الفردية المتتالية: 1، 3، 5، … إلخ. ونفترض أن العدد الأخير في هذا التسلسل هو $n$. لحل هذه المسألة، نستخدم قاعدة مجموع تسلسل حسابي، حيث يكون مجموع التسلسل هو حاصل جمع جميع العناصر فيه.

القاعدة المستخدمة:
$S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d)$

حيث:

• $S_n$ هو مجموع التسلسل.
• $n$ هو عدد العناصر.
• $a$ هو العنصر الأول في التسلسل.
• $d$ هو الفارق بين العناصر.

في هذه المسألة:

• $a = 1$ لأن العنصر الأول في التسلسل هو 1.
• $d = 2$ لأن الفارق بين الأعداد الفردية هو 2.

نعلم أن $S_n$ يساوي 169 (مجموع الأعداد حسب السؤال). لذا، نقوم بتعويض القيم المعروفة في القاعدة:

$169 = \frac{n}{2} \cdot (2 \times 1 + (n-1) \times 2)$

نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة $n$. نقوم بتبسيط العبارة وحساب الناتج:

$169 = \frac{n}{2} \cdot (2 + 2n – 2)$

نقوم بإزالة الأقواس وتبسيط المعادلة:

$169 = \frac{n}{2} \cdot (2n)$

نقوم بضرب العبارتين:

$338 = n^2$

ثم نقوم باستخدام جذر التربيع للحصول على قيمة $n$:

$n = \sqrt{338}$

ومن ثم يمكن تقريب القيمة لتكون قريبة من العدد الصحيح الأقرب.

القاعدة المستخدمة في هذا الحل هي قاعدة جمع مجموعة تسلسل حسابي.